적분팁 (Integration Tip). 이것만 알아도 적분속도향상.

+ 적분팁 (Integration Tip)

-적분할 때 어떻게 접근하는게 빠를까?

아래 순서대로 접근해보면 도움이 많이 될 것이다. 1번이 안되면 2번으로 2번도 안되면 3번으로 등등 ...

1. 삼각 치환

아래 루트형태가 있을 때는 삼각함수로 치환한다.

로 치환한다. 

왜 그렇게 치환했는가?? 무조건 외우는건 금방 잊어 버린다. 왜 그런지 연상을 해야 잊어버려도 다시 유추하여 생각해 낼 수 있다.

생각해 보자... 보통 치환시키는 것은 치환한 것을 미분한 값이 나와야 치환한 의미가 있다.

치환한 x를 미분하면  .  쎄타 월드로 변경했을 때 미분한 값이 cos이 튀어 나온다.   그리고, x를 sin으로 치환하여 1-sin^2 형태가되어 루트를 씌우면 cos이 튀어 나오는  거랑 통하게 된 것이다.

이렇게 발상하면 지극히 당연히 sin으로 치환하는게 좋겠다는 생각이 든다.

로 치환한다.

루트 형태에서 1+tan^2은 sec^2이 되어 sec가 튀어나올 것이고, x를 미분하면 sec^2이 될 것이다. 비슷하다. 다른 항에 따라 잘될 수도 안될 수 도 있다.

로 치환한다.

루트형태에서 sec^2-1꼴이 나올 것이고, 여기서 루트를 씌우면 결국 tan가 튀어나올 것이고, x를 미분하면 sec * tan가 튀어나오게 된다. 이것도 주변 항에 따라 가능여부가 결정된다. 가장 좋은 것은 sec항이 있어준다면 럭키가 된다. 

2. 부분 적분

 이렇게 설명하기도 하고

 이렇게 설명하기도 한다. 똑같은 거다.

f'(x)를 dv라고 생각하고 f(x)를 v로 보면 된다. u는 g(x)이고, du는 g'(x)이다.

여기서 항상 고민인것은 어느 파트(dv)를 적분하고 어느 파트(u)를 미분할 것이지 선택하는 것이다. (어떤 것을 dv로 놓고 어떤 것을 u로 볼것인가?)

보통은 미분할 항(u)을 LIATE 순서로 선정한다..  그 의미는.

Logarithmic(ln), Inverse trigonometric (arctan, arcsin, ..) , Algebraic (5x^2, 3, ..) , Trigonometric(sin, cos..) , Exponential(10^x, e^x)

로그, 인버스, 대수, 삼각, 지수 

예를 들어 x e^x 를 적분한다고 하면, 대수와 지수함수가 나오므로 대수가 먼저 순서라그 대수인 x를 미분하고 e^x를 적분한다. 그렇게 하려면 x를 g(x) or u로 보고, e^x를 f'(x) or dv로 본다.

3. 유리 함수는 분모를 인수분해하여 부분분수형태로 접근한다.

분수꼴인 경우 분모를 인수분해하고 인수항들을 각각 분모로 하는 항들의 합인 형태로 변환한다. 분자는 a, b, c 등으로 놓고 통분했을때 원래의 형태가 맞게 나오게 방정식을 세워서 풀면된다.

예를 들면

4. 무리 함수는 루트부분을 치환한다. 통째로 할수도 있고 루트 x만 치환할 수도 있다. 

n제곱근과 m제곱근의 형태가 모두 나오면 n,m의 최소공배수 제곱근을 치환해 본다.

예를 들면 2제곱근 x + 3제곱근 x 이런 형태이면 6제곱근 x를 치환해 본다.

5. 지수함수를 치환한다. ( t = e^x )

6. 삼각함수들이 섞인 경우.

이것은 여러가지 접근해 시도해봐야 한다. 왕도는 없다.

sin, cos, tan, sec, csc, cot 들의 미분형태, 적분 형태를 어느 정도 알아야 한다. 외우기 힘들면 유도할 수 있어야 한다. 

sin, cos 배각 ( sin 2t = 2sin t cos t , cos 2t = cos^2 - sin^2 = 1-2 sin^2 = 2 cos^2 - 1)

cos^2 t = (1+cos2t) / 2

sin^2 t = (1-cos2t) / 2

1=sin^2+cos^2. 

분자 분모에 어떤 삼각함수를 곱할지..

무엇을 치환할 것인지. 치환할 부분을 미분하면 형태의 항이 나오게 되어 지워지는 부분이 있을지 등등...

짝수배 제곱의 형태이면 반각 공식등이 잘 먹히고   (sin^2 x = (1-cos 2t ) / 2 )

홀수배 제곱의 형태이면 하나를 분리하여 생각해 본다. ( sin^3 x  = sin x * sin^2 x )

7. inverse 삼각함수가 섞인 경우.

inverse함수를 원래 함수로 바꿔서 이것은 직각삼각형을 그려보면 다른 삼각함수들의 값을 쉽게 구할 수 있다.

arctan x = y 라면 tan y = x 가 되고, 직각 삼각형을 만들어 보고, 밑변을 1, 대변을 x, 끼인각을 y로 보면 된다. 빗변은 피타고라스로 구한다. 이제 cos y, sin y 를 쉽게 구할 수 있다.