[적분] 곡선의 길이 계산

곡선의 길이를 측정해 보자.

 그래프가 있다고 하자.

특정 구간 x가 a~b 범위에 있을 때 f(x) 그래프가 그어진 길이를 계산하자.

직접 길이를 구할 수 없으니, 쪼개서 합치자... 적분...

작은 곡선 조각의 길이를 구해서 합치면 전체 곡선의 길이는 아래와 같이 된다. 

먼저 x축을 아주 작게 쪼갠다...   이 한 조각의 가로 길이는 

로 0에 아주 가깝다.   

그리고 이렇게 쪼갠 조각의 곡선을 보면 직선과 같은 형태로 직각삼각형의 빗변의 길이가 된다. 

피타고라스 정리로 계산해 보면...

 이 된다.

y의 변화량은 f(x)의 변화량이다. 

dy = f(x+dx)-f(x)

작은 곡선 조각을 dx의 배수 형태로 만들었다.

이제 이 조각을 적분 기호로 합치면 전체 곡선의 길이가 된다.

따라서

x가 a~b 구간에서 y=f(x)가 움직인 곡선의 길이는