[미분] 미분

미분은 한 자로는 작을 미, 나눌 분. 즉, 아주 작게 나눈다는 뜻이다.

[微分]  

어느 정도 작게 나눠야하느냐면 극한으로 작게 나누는데, 0은 아니지만, 0에 가까울 정도로 나눈다. 이렇게 말로만 하면 애매할 수 있다.

더 정확히하면 제곱해서 무시될 수 있을 정도로 작은 값이다.

f(x+h) = f(x) + f'(x) h + O(h^2) 에서 lim h->0 일때,   O(h^2)이 무시될 수 있을 정도라면, 

f'(x) = lim ( f(x+h)-f(x) ) / h 이렇게 성립될 수 있다.

먼저 차분은 증가량, 변화량이다. 크기는 상관없다.

미분은 차분의 극한으로 x에 대해 크기가 아주 작아야 한다.

즉, 미분에서의 x의 변화량은 극소.

차분은 두 지점에서의 차이로 본다면 미분은 거의 한 점에서의 차이로 볼 수 있다.

미분은 혼자 존재하는게 아니다.  x를 파라미터로 하는 함수 무엇을 x에 대해 미분하는 것처럼. 기준이 있어야 한다. 

이렇게 무엇(y)을 무엇(x)으로 미분한다는 것이 순간 변화율(dy/dx)인 것이다. 그래프로 치면 접선의 기울기.

함수의 그래프상에서 두 점사이의 평균기울기가 x의 차분(x2-x1)에 대한 y의 차분(y2-y1)을 의미한다면,  한 점에서의 기울기(접선의 기울기, 순간변화율)가 해당 지점에서의 미분값이다.

미분

함수 f(x)에서 주어진 점(a,   x가 a일 때)에서의 접선의 기울기. (기울기=탄젠트 값)

= f'(a) 

미분값이 존재하려면? 좌극한=함수값=우극한   (-> 해당 점에서 이 함수는 당연히 연속이다.)

위와 같이 미분을 정의할 수 있다. x의 극소변화에 대한 함수의 출력값의 변화량의 비율;   y변화량/x변화량  =>  기울기   => x변화량이 극한으로 0에 가깝게 한다. 순간변화율. 접선의 기울기.

다른 방법으로는

x-a를 h로 치환하면 위와 동일하다.

ex)

f(x) = x^2

미분 정의로 부터 주어진 함수를 미분할 수 있다.

다른 방법으로는

일 때 C가 바로 f'(x)이다.. 

Taylor Series 나 Geometric Series 등을 이용하여 h에 대한 power series로 정리하여 미분을 구할 수도 있다.

ex) 

위에서 C를 구하면 x에서의 미분값이 된다.

따라서 C 값인 n x^(n-1)이 바로 f'(x)가 된다.

ex)

따라서 f'(x) = -sin x

ex)

따라서 f'(x) = e^x