크레이지J의 탐구생활

전에는 곡선 좌표들이 (x,y)일때, y=f(x)와 같은 함수가 있을 경우에 구해봤다.

이번에는 x=f(t), y=g(t)라는 각각의 함수들이 존재할 경우이다.

x=f(t)에서 t를 구해 g(t)에 대입하여 y=h(x)꼴로 구할수 있다면 이전 방식으로도 가능하지만, h(x)를 구하기 어려운 경우에는 f와 g를 이용하여 구해야 한다.

전과 마찬가지로 곡선의 작은 조각을 적분하는 방식으로 길이를 구한다.

t 지점에서 t의 미세변화량(dt)에 대한 x의 변화량(dx)과 y의 변화량(dy)은 아래와 같다.

따라서 t 지점에서의 미세한 곡선의길이는 

이 delta l을 모두 합친다.

아래와 같이 길이를 구할 수 있는데,

여기서 t가 a~b구간이라고 하면,  t = a+ ((b-a)/n) * i 이고  dt=(b-a)/n 이다.

(Sigma에 대해 극한을 하게 되면 이를 적분으로 계산할 수 있다.  무한급수를 정적분으로 변환.)

위 dl에서 dt를 밖으로 빼주게 되면 아래와 같이 되고

이를 t가 a~b로 변화할때의 곡선의 길이

곡선의 길이를 측정해 보자.

 그래프가 있다고 하자.

특정 구간 x가 a~b 범위에 있을 때 f(x) 그래프가 그어진 길이를 계산하자.

직접 길이를 구할 수 없으니, 쪼개서 합치자... 적분...

작은 곡선 조각의 길이를 구해서 합치면 전체 곡선의 길이는 아래와 같이 된다. 

먼저 x축을 아주 작게 쪼갠다...   이 한 조각의 가로 길이는 

로 0에 아주 가깝다.   

그리고 이렇게 쪼갠 조각의 곡선을 보면 직선과 같은 형태로 직각삼각형의 빗변의 길이가 된다. 

피타고라스 정리로 계산해 보면...

 이 된다.

y의 변화량은 f(x)의 변화량이다. 

dy = f(x+dx)-f(x)

작은 곡선 조각을 dx의 배수 형태로 만들었다.

이제 이 조각을 적분 기호로 합치면 전체 곡선의 길이가 된다.

따라서

x가 a~b 구간에서 y=f(x)가 움직인 곡선의 길이는