미적분학의 본질 #2

chain and product rule

sum rule

$\frac d {dx} (sin(x)+x^2) = cos(x)+2x \\ \frac d {dx} ( g(x)+h(x) ) = \frac d {dx} g(x) + \frac d {dx} h(x) \\$

• 미분을 생각해 보면 함수의 합에서의 미분은 dx에 대해 df를 보면 된다.
• f=g+h 라고 할 때, g 그래프 , h 그래프를 그렸을 때 dx는 일정한데, df는 dg+dh와 같기 때문에 두 함수 g, h의 미분의 합과 같게 된다.

product rule

$f(x) = sin(x) x^2$
f(x)를 직사각형의 넓이라고 생각할 수 있다. 가로를 sin(x), 높이를 x^2.

• 여기서 dx를 생각해 보자.
• 늘어나는 넓이가 df
  $df = sin(x) d(x^2) + x^2 d(sin(x))+d(x^2)d(sin(x))\\$
• 위 df에서 마지막항은 무시할 수 있다. (dx^2 꼴)
  $f=gh \\ df = g dh + h dg\\ \frac d {dx} f = g\frac d {dx} h+h\frac d {dx} g \\ f' = g h' + h g'$

function composition

$g(x) = sin(x) \\ h(x) = x^2 \\ f(x) = g(h(x))$
위 에서 dx의 변화가 생긴다면, dh는 2xdx가 된다.
dh의 변화는 g입장에서 보면 dg = d sin(h)이며 cos(h) dh인 것이다.
dh를 다시 확장하면,
dg = cos(h) 2x dx
즉,
df = cos(x^2) 2x dx 가 된다.

• Chain Rule
  $\frac d {dx} g(h(x)) = \frac {dg}{dh}(h(x)) \frac {dh}{dx}(x) \\ \frac d {dx} g(h(x)) = \frac {dg}{dh} \frac {dh}{dx}$

Author: crazyj7@gmail.com

지수의 도함수

M(t) = $2^t$
매 초마다 2배씩 인구가 증가하는 함수는 위와 같다.
위 함수의 도함수를 보면, 1초 증가시 증가량이 2^t가 된다.
$dM/dt = \frac {2^{t+1}-2^t}{1}=2^t$

• 위 함수가 도함수 인가??? 저것은 dt가 1인 경우일 뿐.

• dt $\rightarrow$ 0 일때를 알아야 한다.
  $dM/dt = \frac {2^{t+dt}-2^t}{dt}=2^t \frac {2^{dt}-1}{dt}$
  위 형태에서 지수는 e 꼴로 변형할 수 있다.
  $a^b = e^{ln a^b} = e^{b ln a} \\ 2^h = e^{hln2} \\ dM/dt =2^t\frac { e^{hln2} -1 } {h} \\ =2^t \frac { (1+h)^{ln2} -1 } {h} \\ =2^t \frac { ln2 *h+O(h^2) }{h} \\ =2^t ln2$

• 어쨋건 지수함수의 미분값은 자신(M)과 일정한 비례상수에 의해 비례한다.

• 그리고 궁금한 것은 이 비례상수가 1인 경우에 해당되는 지수함수의 값은 무엇일까? “e”

• 즉, 미분해서 자기자신이 되는 지수 함수는 e^x

  • $\frac {e^h-1}{h}=1$ 이것이 e의 정의다.
    $\frac {e^h-1}{h}=1\\ e^h= h+1 \\ e = (1+h)^\frac{1}{h}\\ h \rightarrow 0$
  • 지수함수는 다 e꼴로 나타낼 수 있다.
    $a^x = e^{x ln a}$

• 왜 e의 지수함수형태로 나타내는 것이 더 자연스러운가?

• 자연계 현상에서는 규모가 변화율에 비례하고, 비례상수로써 일반화할 수 있다.

Author: crazyj7@gmail.com

implicit differentiation

음함수 미분.

• ex
  $x^2+y^2=5^2 \\ 2xdx+2ydy = 0\\ xdx=-ydy\\ \frac {dy}{dx} = -\frac x y$

$x(t)^2+y(t)^2=5^2 \\ t에 대해 미분\\ 2x(t)\frac {dx}{dt}+2y(t)\frac {dy}{dt} = 0\\ x\frac {dx}{dt}=-y \frac {dy}{dt}\\ \frac {dy}{dx} = -\frac x y$

• ex
  $sin(x)y^2=x \\ sin(x)2ydy+y^2cos(x)dx = dx \\ find \frac {dy}{dx}$

• ex
  $y=ln(x) \\ \frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx}ln(x)\\ 원 함수를 다음과 같이 변경\\ x = e^y \\ dx = e^y dy \\ \frac {dy}{dx} = e^{-y} = \frac 1 {e^y} = \frac 1 x$

Formal derivative definition

$\frac {df}{dx}(2) = lim_{h \to 0} \frac {f(2+h)-f(2)}{h}$

• 여기서 h는 dx로 무한히 작다를 의미하는 것은 아니다?

앱실론/델타

입력범위크기의 조절로 출력범위의 크기를 원하는 만큼 작게 만들 수 있다.
출력값에서 떨어진 거리 엡실론.
입력값에서 떨어진 거리 델타.
엡실론을 아무리 줄여도 델타는 존재한다!!!

로피탈

L’Hopital’s rule

$lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)}\\ =\frac {\frac d {dx} f(a) } {\frac d {dx} g(a)}$

$lim_{x \to 0} \frac {sin \pi x}{ x^2-1}\\ =\frac {\frac d {dx} sin \pi x } {\frac d {dx} x^2-1 }$

Author: crazyj7@gmail.com