cal04
chain and product rule
sum rule
d d x ( s i n ( x ) + x 2 ) = c o s ( x ) + 2 x d d x ( g ( x ) + h ( x ) ) = d d x g ( x ) + d d x h ( x )
\frac d {dx} (sin(x)+x^2) = cos(x)+2x \\
\frac d {dx} ( g(x)+h(x) ) = \frac d {dx} g(x) + \frac d {dx} h(x) \\
d x d ( s i n ( x ) + x 2 ) = c o s ( x ) + 2 x d x d ( g ( x ) + h ( x ) ) = d x d g ( x ) + d x d h ( x )
미분을 생각해 보면 함수의 합에서의 미분은 dx에 대해 df를 보면 된다.
f=g+h 라고 할 때, g 그래프 , h 그래프를 그렸을 때 dx는 일정한데, df는 dg+dh와 같기 때문에 두 함수 g, h의 미분의 합과 같게 된다.
product rule
f ( x ) = s i n ( x ) x 2
f(x) = sin(x) x^2
f ( x ) = s i n ( x ) x 2
여기서 dx를 생각해 보자.
늘어나는 넓이가 dfd f = s i n ( x ) d ( x 2 ) + x 2 d ( s i n ( x ) ) + d ( x 2 ) d ( s i n ( x ) )
df = sin(x) d(x^2) + x^2 d(sin(x))+d(x^2)d(sin(x))\\
d f = s i n ( x ) d ( x 2 ) + x 2 d ( s i n ( x ) ) + d ( x 2 ) d ( s i n ( x ) )
위 df에서 마지막항은 무시할 수 있다. (dx^2 꼴)f = g h d f = g d h + h d g d d x f = g d d x h + h d d x g f ′ = g h ′ + h g ′
f=gh \\
df = g dh + h dg\\
\frac d {dx} f = g\frac d {dx} h+h\frac d {dx} g \\
f' = g h' + h g'
f = g h d f = g d h + h d g d x d f = g d x d h + h d x d g f ′ = g h ′ + h g ′
function composition
g ( x ) = s i n ( x ) h ( x ) = x 2 f ( x ) = g ( h ( x ) )
g(x) = sin(x) \\
h(x) = x^2 \\
f(x) = g(h(x))
g ( x ) = s i n ( x ) h ( x ) = x 2 f ( x ) = g ( h ( x ) )
Chain Ruled d x g ( h ( x ) ) = d g d h ( h ( x ) ) d h d x ( x ) d d x g ( h ( x ) ) = d g d h d h d x
\frac d {dx} g(h(x)) = \frac {dg}{dh}(h(x)) \frac {dh}{dx}(x) \\
\frac d {dx} g(h(x)) = \frac {dg}{dh} \frac {dh}{dx}
d x d g ( h ( x ) ) = d h d g ( h ( x ) ) d x d h ( x ) d x d g ( h ( x ) ) = d h d g d x d h
Author: crazyj7@gmail.com
지수의 도함수
M(t) = 2 t 2^t 2 t d M / d t = 2 t + 1 − 2 t 1 = 2 t
dM/dt = \frac {2^{t+1}-2^t}{1}=2^t
d M / d t = 1 2 t + 1 − 2 t = 2 t
위 함수가 도함수 인가??? 저것은 dt가 1인 경우일 뿐.
dt → \rightarrow → d M / d t = 2 t + d t − 2 t d t = 2 t 2 d t − 1 d t
dM/dt = \frac {2^{t+dt}-2^t}{dt}=2^t \frac {2^{dt}-1}{dt}
d M / d t = d t 2 t + d t − 2 t = 2 t d t 2 d t − 1 a b = e l n a b = e b l n a 2 h = e h l n 2 d M / d t = 2 t e h l n 2 − 1 h = 2 t ( 1 + h ) l n 2 − 1 h = 2 t l n 2 ∗ h + O ( h 2 ) h = 2 t l n 2
a^b = e^{ln a^b} = e^{b ln a} \\
2^h = e^{hln2} \\
dM/dt =2^t\frac { e^{hln2} -1 } {h} \\
=2^t \frac { (1+h)^{ln2} -1 } {h} \\
=2^t \frac { ln2 *h+O(h^2) }{h} \\
=2^t ln2
a b = e l n a b = e b l n a 2 h = e h l n 2 d M / d t = 2 t h e h l n 2 − 1 = 2 t h ( 1 + h ) l n 2 − 1 = 2 t h l n 2 ∗ h + O ( h 2 ) = 2 t l n 2
어쨋건 지수함수의 미분값은 자신(M)과 일정한 비례상수에 의해 비례한다.
그리고 궁금한 것은 이 비례상수가 1인 경우에 해당되는 지수함수의 값은 무엇일까? “e”
즉, 미분해서 자기자신이 되는 지수 함수는 e^x
e h − 1 h = 1 \frac {e^h-1}{h}=1 h e h − 1 = 1 e h − 1 h = 1 e h = h + 1 e = ( 1 + h ) 1 h h → 0
\frac {e^h-1}{h}=1\\
e^h= h+1 \\
e = (1+h)^\frac{1}{h}\\
h \rightarrow 0
h e h − 1 = 1 e h = h + 1 e = ( 1 + h ) h 1 h → 0 지수함수는 다 e꼴로 나타낼 수 있다.a x = e x l n a
a^x = e^{x ln a}
a x = e x l n a
왜 e의 지수함수형태로 나타내는 것이 더 자연스러운가?
자연계 현상에서는 규모가 변화율에 비례하고, 비례상수로써 일반화할 수 있다.
Author: crazyj7@gmail.com
implicit differentiation
음함수 미분.
exx 2 + y 2 = 5 2 2 x d x + 2 y d y = 0 x d x = − y d y d y d x = − x y
x^2+y^2=5^2 \\
2xdx+2ydy = 0\\
xdx=-ydy\\
\frac {dy}{dx} = -\frac x y
x 2 + y 2 = 5 2 2 x d x + 2 y d y = 0 x d x = − y d y d x d y = − y x
x ( t ) 2 + y ( t ) 2 = 5 2 t 에 대 해 미 분 2 x ( t ) d x d t + 2 y ( t ) d y d t = 0 x d x d t = − y d y d t d y d x = − x y
x(t)^2+y(t)^2=5^2 \\
t에 대해 미분\\
2x(t)\frac {dx}{dt}+2y(t)\frac {dy}{dt} = 0\\
x\frac {dx}{dt}=-y \frac {dy}{dt}\\
\frac {dy}{dx} = -\frac x y
x ( t ) 2 + y ( t ) 2 = 5 2 t 에 대 해 미 분 2 x ( t ) d t d x + 2 y ( t ) d t d y = 0 x d t d x = − y d t d y d x d y = − y x
exs i n ( x ) y 2 = x s i n ( x ) 2 y d y + y 2 c o s ( x ) d x = d x f i n d d y d x
sin(x)y^2=x \\
sin(x)2ydy+y^2cos(x)dx = dx \\
find \frac {dy}{dx}
s i n ( x ) y 2 = x s i n ( x ) 2 y d y + y 2 c o s ( x ) d x = d x f i n d d x d y
exy = l n ( x ) d y d x = d d x l n ( x ) 원 함 수 를 다 음 과 같 이 변 경 x = e y d x = e y d y d y d x = e − y = 1 e y = 1 x
y=ln(x) \\
\frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx}ln(x)\\
원 함수를 다음과 같이 변경\\
x = e^y \\
dx = e^y dy \\
\frac {dy}{dx} = e^{-y} = \frac 1 {e^y} = \frac 1 x
y = l n ( x ) d x d y = d x d l n ( x ) 원 함 수 를 다 음 과 같 이 변 경 x = e y d x = e y d y d x d y = e − y = e y 1 = x 1
d f d x ( 2 ) = l i m h → 0 f ( 2 + h ) − f ( 2 ) h
\frac {df}{dx}(2) = lim_{h \to 0} \frac {f(2+h)-f(2)}{h}
d x d f ( 2 ) = l i m h → 0 h f ( 2 + h ) − f ( 2 )
여기서 h는 dx로 무한히 작다를 의미하는 것은 아니다?
앱실론/델타
입력범위크기의 조절로 출력범위의 크기를 원하는 만큼 작게 만들 수 있다.
로피탈
L’Hopital’s rule
l i m x → a f ( x ) g ( x ) = d d x f ( a ) d d x g ( a )
lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)}\\
=\frac {\frac d {dx} f(a) } {\frac d {dx} g(a)}
l i m x → a g ( x ) f ( x ) = d x d g ( a ) d x d f ( a )
l i m x → 0 s i n π x x 2 − 1 = d d x s i n π x d d x x 2 − 1
lim_{x \to 0} \frac {sin \pi x}{ x^2-1}\\
=\frac {\frac d {dx} sin \pi x } {\frac d {dx} x^2-1 }
l i m x → 0 x 2 − 1 s i n π x = d x d x 2 − 1 d x d s i n π x
Author: crazyj7@gmail.com
