cal01
미적분학의 본질
원의 넓이
동심원으로 일정한 두께로 잘라낸다.π \pi π
하 나 의 링 A r e a ≈ 2 π r d r
하나의 링 Area \approx\ 2\pi r dr
하 나 의 링 A r e a ≈ 2 π r d r π \pi π π r 2 \pi r^2 π r 2
원의 넓이, 자동차가 움직인 거리. y = x 2 y=x^2 y = x 2
x의 변화를 dx (아주 작은 크기)로 보고, 그 때의 넓이 변화를 dA라고 하자.
dA를 x 도메인 범위로 확장을하여 합치면 A 전체 넓이가 된다.
y = x 2 그 래 프 아 래 의 넓 이 x 축 x 의 작 은 변 화 d x 에 대 해 d x 에 해 당 되 는 넓 이 를 d A d A d x ≈ x 2 i f d x = 0.001 , a t x = 3 A ( 3.001 ) − A ( 3 ) 0.001 ≈ 3 2 즉 , d x 가 작 을 수 록 근 사 값 이 실 제 값 에 가 까 워 진 다 .
y=x^2 그래프 아래의 넓이 \\
x축 x의 작은 변화 dx에 대해\\
dx에 해당되는 넓이를 dA\\
\frac {dA}{dx} \approx x^2 \\
if \quad dx=0.001, at \quad x=3 \\
\frac {A(3.001)-A(3)}{0.001} \approx 3^2 \\
즉, dx가 작을 수록 근사값이 실제값에 가까워진다.
y = x 2 그 래 프 아 래 의 넓 이 x 축 x 의 작 은 변 화 d x 에 대 해 d x 에 해 당 되 는 넓 이 를 d A d x d A ≈ x 2 i f d x = 0 . 0 0 1 , a t x = 3 0 . 0 0 1 A ( 3 . 0 0 1 ) − A ( 3 ) ≈ 3 2 즉 , d x 가 작 을 수 록 근 사 값 이 실 제 값 에 가 까 워 진 다 .
f ( x ) 그 래 프 의 밑 넓 이 A ( x ) = I n t e g r a l o f f ( x ) d A = d x 변 화 에 서 넓 이 변 화 . 높 이 는 f ( x ) . 가 로 는 d x . d A ≈ f ( x ) d x d A d x ≈ f ( x ) d x → 0 점 점 더 정 확 해 짐 .
f(x)그래프의 밑넓이 A(x) \\
= Integral \quad of \quad f(x) \\
dA = dx변화에서 넓이 변화. 높이는 f(x). 가로는 dx. \\
dA \approx f(x) dx \\
\frac {dA}{dx} \approx f(x) \\
dx \rightarrow 0 점점 더 정확해짐.
f ( x ) 그 래 프 의 밑 넓 이 A ( x ) = I n t e g r a l o f f ( x ) d A = d x 변 화 에 서 넓 이 변 화 . 높 이 는 f ( x ) . 가 로 는 d x . d A ≈ f ( x ) d x d x d A ≈ f ( x ) d x → 0 점 점 더 정 확 해 짐 .
위에서 f(x), d A d x \frac {dA}{dx} d x d A
dx가 0에 가까울 수록 어떤 비율이 된다는 의미. 접선의 기울기. 변화율.
도함수의 모순
흔히 도함수를 순간변화율이라고 하는데, 순간은 시간이 없기 때문에 변화가 없다. 따라서 이 말은 모순이다 .
s(t)를 자동차가 t시각에 위치한 지점.(이동 위치)라고 하고, x축을 t로 y축을 s로 한다.v ( t ) = d s d t d s d t ( t ) = s ( t + d t ) − s ( t ) d t
v(t) = \frac {ds}{dt}\\
\frac {ds}{dt}(t) = \frac {s(t+dt)-s(t)}{dt}
v ( t ) = d t d s d t d s ( t ) = d t s ( t + d t ) − s ( t )
문제는 속력을 재려면 두 시점이 필요하다. 정지된 사진 한 장으로는 속력을 잴 수 없다!!!
dt를 아주 작은 구간으로 본다.
t에서의 미분은 두 시점의 기울기가 아니라 특정한 점의 접선의 기울기 이다.
dt는 무한히 작다는 것도 아니고, 0이라는 것도 아니다!!!
순간 변화율은 잘못된 표현이고, 한 점 근처의 변화율을 나타내는 최적의 상수 근사값이라고 생각할 수 있다.
dt는 t에서 실질적 크기를 갖는 매우 작은 변화를 의미한다.
예제
s ( t ) = t 3 d s d t ( t ) = s ( t + d t ) − s ( t ) d t = ( t + d t ) 3 − t 3 d t = t 3 + 3 t 2 d t + O ( d t 2 ) − t 3 d t = 3 t 2 + O ( d t ) = 3 t 2
s(t) = t^3 \\
\frac {ds}{dt}(t) = \frac {s(t+dt)-s(t)}{dt}\\
=\frac {(t+dt)^3-t^3}{dt}\\
=\frac {t^3+3t^2dt+O(dt^2)-t^3} {dt}\\
=3t^2+O(dt)=3t^2
s ( t ) = t 3 d t d s ( t ) = d t s ( t + d t ) − s ( t ) = d t ( t + d t ) 3 − t 3 = d t t 3 + 3 t 2 d t + O ( d t 2 ) − t 3 = 3 t 2 + O ( d t ) = 3 t 2
기하를 통해 본 미분 공식
f(x)=x^2
dx에 대해서 df를 관측할 경우는 의미있는 부분은 dx까지이고 (dx)^2부터는 무시할 수 있다. (0에 수렴하여 의미없는 값이 된다.)
아래 df에서 dx^2를 봐라.f ( x ) = x n 의 미 분 . d f ( x ) d x = ( x + d x ) n − x n d x ( x + d x ) n = x n + n x n − 1 d x + O ( d x 2 ) O ( d x 2 ) 는 무 시 할 수 있 다 ! d f ( x ) d x = x n + n x n − 1 d x − x n d x = n x n − 1 왜 무 시 해 도 되 냐 면 아 래 와 같 다 . d f ( x ) d x = x n + n x n − 1 d x + O ( d x 2 ) − x n d x = n x n − 1 + O ( d x ) ( d x → 0 ) d f ( x ) d x = n x n − 1
f(x)=x^n의 미분. \\
\frac {df(x)}{dx}=\frac {(x+dx)^n-x^n}{dx}\\
(x+dx)^n=x^n+nx^{n-1}dx+O(dx^2) \\
O(dx^2)는 무시할 수 있다!\\
\frac {df(x)}{dx}=\frac {x^n+nx^{n-1}dx-x^n}{dx}= nx^{n-1} \\
\quad \\
왜 무시해도 되냐면 아래와 같다. \\
\frac {df(x)}{dx}=\frac {x^n+nx^{n-1}dx+O(dx^2)-x^n}{dx}=nx^{n-1}+O(dx) \\
(dx \rightarrow 0) \\
\frac {df(x)}{dx}=nx^{n-1}
f ( x ) = x n 의 미 분 . d x d f ( x ) = d x ( x + d x ) n − x n ( x + d x ) n = x n + n x n − 1 d x + O ( d x 2 ) O ( d x 2 ) 는 무 시 할 수 있 다 ! d x d f ( x ) = d x x n + n x n − 1 d x − x n = n x n − 1 왜 무 시 해 도 되 냐 면 아 래 와 같 다 . d x d f ( x ) = d x x n + n x n − 1 d x + O ( d x 2 ) − x n = n x n − 1 + O ( d x ) ( d x → 0 ) d x d f ( x ) = n x n − 1
f ( x ) = 1 x f(x)=\frac 1 x f ( x ) = x 1
이 때 dx에 대해 df를 보면 된다. x가 dx 증가할 때, 가로 길이는 dx가 증가하지만 세로 길이는 d(1/x)만큼 감소한다. 그 양쪽 증감 넓이는 동일해야 한다.A r e a ( + ) = ( 1 x ) d x A r e a ( − ) = x d ( 1 x ) ( 1 x ) d x = x ( 1 x − 1 x + d x ) d x x = 1 − x x + d x = d x x + d x 1 x = 1 x + d x 즉 , d x 가 0 으 로 수 렴 . 위 식 은 맞 다 .
Area(+) = (\frac 1 x) dx \\
Area(-) = x d(\frac 1 x) \\
(\frac 1 x)dx = x ( \frac 1 x - \frac1{x+dx})\\
\frac {dx} x = 1 - \frac x {x+dx} = \frac {dx} {x+dx} \\
\frac 1 x = \frac 1 {x+dx} \\
즉, dx가 0으로 수렴. 위 식은 맞다.
A r e a ( + ) = ( x 1 ) d x A r e a ( − ) = x d ( x 1 ) ( x 1 ) d x = x ( x 1 − x + d x 1 ) x d x = 1 − x + d x x = x + d x d x x 1 = x + d x 1 즉 , d x 가 0 으 로 수 렴 . 위 식 은 맞 다 .
df/dxd f d x = f ( x + d x ) − f ( x ) d x = 1 x + d x − 1 x d x = − d x x ( x + d x ) d x = − 1 x 2 + x d x = − 1 x 2
\frac {df}{dx} = \frac {f(x+dx)-f(x)}{dx} = \frac{ \frac 1 {x+dx} - \frac 1 x } {dx}\\
= \frac{ \frac{-dx}{x(x+dx)} }{dx} = -\frac {1}{x^2+xdx} \\
= - \frac 1 {x^2}
d x d f = d x f ( x + d x ) − f ( x ) = d x x + d x 1 − x 1 = d x x ( x + d x ) − d x = − x 2 + x d x 1 = − x 2 1
Author: crazyj7@gmail.com
