미적분학의 본질

원의 넓이

동심원으로 일정한 두께로 잘라낸다.
하나의 동심원을 펴면 직사각형에 가깝고 넓이는 두께를 dr, 길이는 2$\pi$r

$하나의 링 Area \approx\ 2\pi r dr$
좌표축에 x축을 r로 보고, 0부터 3까지의 범위로 각 r에 해당할때 링의 길이를 세로축 y로 놓으면 직선 y=2$\pi$r 이 그려진다.
각 링을 해당 r 위치에 직사각형으로 놓으면 넓이는 dr. dr이 0에 가까울수록 (잘게 썰수록) 삼각형의 넓이가 된다.
즉, 면적은 이 그래프의 삼각형의 넓이가 되므로,
$\pi r^2$이 된다.

• 원의 넓이, 자동차가 움직인 거리. $y=x^2$그래프 아래의 넓이 등 복잡한 문제를 작게 쪼개서 합으로 풀 수 있다.
• x의 변화를 dx (아주 작은 크기)로 보고, 그 때의 넓이 변화를 dA라고 하자.
• dA를 x 도메인 범위로 확장을하여 합치면 A 전체 넓이가 된다.

$y=x^2 그래프 아래의 넓이 \\ x축 x의 작은 변화 dx에 대해\\ dx에 해당되는 넓이를 dA\\ \frac {dA}{dx} \approx x^2 \\ if \quad dx=0.001, at \quad x=3 \\ \frac {A(3.001)-A(3)}{0.001} \approx 3^2 \\ 즉, dx가 작을 수록 근사값이 실제값에 가까워진다.$

$f(x)그래프의 밑넓이 A(x) \\ = Integral \quad of \quad f(x) \\ dA = dx변화에서 넓이 변화. 높이는 f(x). 가로는 dx. \\ dA \approx f(x) dx \\ \frac {dA}{dx} \approx f(x) \\ dx \rightarrow 0 점점 더 정확해짐.$

• 위에서 f(x), $\frac {dA}{dx}$가 A의 도함수이다.
• dx가 0에 가까울 수록 어떤 비율이 된다는 의미. 접선의 기울기. 변화율.

도함수의 모순

흔히 도함수를 순간변화율이라고 하는데, 순간은 시간이 없기 때문에 변화가 없다. 따라서 이 말은 모순이다 .

s(t)를 자동차가 t시각에 위치한 지점.(이동 위치)라고 하고, x축을 t로 y축을 s로 한다.
v(t)는 자동차의 t시각에 속력을 나타냄.
여기서 v(t)는?? t에서의 속력.
$v(t) = \frac {ds}{dt}\\ \frac {ds}{dt}(t) = \frac {s(t+dt)-s(t)}{dt}$

• 문제는 속력을 재려면 두 시점이 필요하다. 정지된 사진 한 장으로는 속력을 잴 수 없다!!!
• dt를 아주 작은 구간으로 본다.
• t에서의 미분은 두 시점의 기울기가 아니라 특정한 점의 접선의 기울기 이다.
• dt는 무한히 작다는 것도 아니고, 0이라는 것도 아니다!!!
• 순간 변화율은 잘못된 표현이고, 한 점 근처의 변화율을 나타내는 최적의 상수 근사값이라고 생각할 수 있다.
• dt는 t에서 실질적 크기를 갖는 매우 작은 변화를 의미한다.

예제

$s(t) = t^3 \\ \frac {ds}{dt}(t) = \frac {s(t+dt)-s(t)}{dt}\\ =\frac {(t+dt)^3-t^3}{dt}\\ =\frac {t^3+3t^2dt+O(dt^2)-t^3} {dt}\\ =3t^2+O(dt)=3t^2$

기하를 통해 본 미분 공식

f(x)=x^2
한 변 길이가 x인 정사각형의 넓이로 볼 수 있다.
여기서 변의 길이를 dx 만큼 증가시키면…
df (증가량) = 2x dx + (dx)^2 이 된다.
df/dx = 2x+O(dx)
dx는 0가 가까우므로 의미있는 값은 2x가 된다.

• dx에 대해서 df를 관측할 경우는 의미있는 부분은 dx까지이고 (dx)^2부터는 무시할 수 있다. (0에 수렴하여 의미없는 값이 된다.)

• 아래 df에서 dx^2를 봐라.
  $f(x)=x^n의 미분. \\ \frac {df(x)}{dx}=\frac {(x+dx)^n-x^n}{dx}\\ (x+dx)^n=x^n+nx^{n-1}dx+O(dx^2) \\ O(dx^2)는 무시할 수 있다!\\ \frac {df(x)}{dx}=\frac {x^n+nx^{n-1}dx-x^n}{dx}= nx^{n-1} \\ \quad \\ 왜 무시해도 되냐면 아래와 같다. \\ \frac {df(x)}{dx}=\frac {x^n+nx^{n-1}dx+O(dx^2)-x^n}{dx}=nx^{n-1}+O(dx) \\ (dx \rightarrow 0) \\ \frac {df(x)}{dx}=nx^{n-1}$

• $f(x)=\frac 1 x$ 에서 미분을 해 보자. 기하학적으로 보면, 넓이가 1인 직사각형을 생각하면 된다. 가로 길이를 x, 높이는 1/x가 된다.

  • 이 때 dx에 대해 df를 보면 된다. x가 dx 증가할 때, 가로 길이는 dx가 증가하지만 세로 길이는 d(1/x)만큼 감소한다. 그 양쪽 증감 넓이는 동일해야 한다.
    $Area(+) = (\frac 1 x) dx \\ Area(-) = x d(\frac 1 x) \\ (\frac 1 x)dx = x ( \frac 1 x - \frac1{x+dx})\\ \frac {dx} x = 1 - \frac x {x+dx} = \frac {dx} {x+dx} \\ \frac 1 x = \frac 1 {x+dx} \\ 즉, dx가 0으로 수렴. 위 식은 맞다.$
  • df/dx
    $\frac {df}{dx} = \frac {f(x+dx)-f(x)}{dx} = \frac{ \frac 1 {x+dx} - \frac 1 x } {dx}\\ = \frac{ \frac{-dx}{x(x+dx)} }{dx} = -\frac {1}{x^2+xdx} \\ = - \frac 1 {x^2}$

Author: crazyj7@gmail.com