chain and product rule

sum rule

$\frac d {dx} (sin(x)+x^2) = cos(x)+2x \\ \frac d {dx} ( g(x)+h(x) ) = \frac d {dx} g(x) + \frac d {dx} h(x) \\$

• 미분을 생각해 보면 함수의 합에서의 미분은 dx에 대해 df를 보면 된다.
• f=g+h 라고 할 때, g 그래프 , h 그래프를 그렸을 때 dx는 일정한데, df는 dg+dh와 같기 때문에 두 함수 g, h의 미분의 합과 같게 된다.

product rule

$f(x) = sin(x) x^2$
f(x)를 직사각형의 넓이라고 생각할 수 있다. 가로를 sin(x), 높이를 x^2.

• 여기서 dx를 생각해 보자.
• 늘어나는 넓이가 df
  $df = sin(x) d(x^2) + x^2 d(sin(x))+d(x^2)d(sin(x))\\$
• 위 df에서 마지막항은 무시할 수 있다. (dx^2 꼴)
  $f=gh \\ df = g dh + h dg\\ \frac d {dx} f = g\frac d {dx} h+h\frac d {dx} g \\ f' = g h' + h g'$

function composition

$g(x) = sin(x) \\ h(x) = x^2 \\ f(x) = g(h(x))$
위 에서 dx의 변화가 생긴다면, dh는 2xdx가 된다.
dh의 변화는 g입장에서 보면 dg = d sin(h)이며 cos(h) dh인 것이다.
dh를 다시 확장하면,
dg = cos(h) 2x dx
즉,
df = cos(x^2) 2x dx 가 된다.

• Chain Rule
  $\frac d {dx} g(h(x)) = \frac {dg}{dh}(h(x)) \frac {dh}{dx}(x) \\ \frac d {dx} g(h(x)) = \frac {dg}{dh} \frac {dh}{dx}$

Author: crazyj7@gmail.com

지수의 도함수

M(t) = $2^t$
매 초마다 2배씩 인구가 증가하는 함수는 위와 같다.
위 함수의 도함수를 보면, 1초 증가시 증가량이 2^t가 된다.
$dM/dt = \frac {2^{t+1}-2^t}{1}=2^t$

• 위 함수가 도함수 인가??? 저것은 dt가 1인 경우일 뿐.

• dt $\rightarrow$ 0 일때를 알아야 한다.
  $dM/dt = \frac {2^{t+dt}-2^t}{dt}=2^t \frac {2^{dt}-1}{dt}$
  위 형태에서 지수는 e 꼴로 변형할 수 있다.
  $a^b = e^{ln a^b} = e^{b ln a} \\ 2^h = e^{hln2} \\ dM/dt =2^t\frac { e^{hln2} -1 } {h} \\ =2^t \frac { (1+h)^{ln2} -1 } {h} \\ =2^t \frac { ln2 *h+O(h^2) }{h} \\ =2^t ln2$

• 어쨋건 지수함수의 미분값은 자신(M)과 일정한 비례상수에 의해 비례한다.

• 그리고 궁금한 것은 이 비례상수가 1인 경우에 해당되는 지수함수의 값은 무엇일까? “e”

• 즉, 미분해서 자기자신이 되는 지수 함수는 e^x

  • $\frac {e^h-1}{h}=1$ 이것이 e의 정의다.
    $\frac {e^h-1}{h}=1\\ e^h= h+1 \\ e = (1+h)^\frac{1}{h}\\ h \rightarrow 0$
  • 지수함수는 다 e꼴로 나타낼 수 있다.
    $a^x = e^{x ln a}$

• 왜 e의 지수함수형태로 나타내는 것이 더 자연스러운가?

• 자연계 현상에서는 규모가 변화율에 비례하고, 비례상수로써 일반화할 수 있다.

Author: crazyj7@gmail.com

implicit differentiation

음함수 미분.

• ex
  $x^2+y^2=5^2 \\ 2xdx+2ydy = 0\\ xdx=-ydy\\ \frac {dy}{dx} = -\frac x y$

$x(t)^2+y(t)^2=5^2 \\ t에 대해 미분\\ 2x(t)\frac {dx}{dt}+2y(t)\frac {dy}{dt} = 0\\ x\frac {dx}{dt}=-y \frac {dy}{dt}\\ \frac {dy}{dx} = -\frac x y$

• ex
  $sin(x)y^2=x \\ sin(x)2ydy+y^2cos(x)dx = dx \\ find \frac {dy}{dx}$

• ex
  $y=ln(x) \\ \frac {dy}{dx} = \frac {d}{dx}ln(x)\\ 원 함수를 다음과 같이 변경\\ x = e^y \\ dx = e^y dy \\ \frac {dy}{dx} = e^{-y} = \frac 1 {e^y} = \frac 1 x$

Formal derivative definition

$\frac {df}{dx}(2) = lim_{h \to 0} \frac {f(2+h)-f(2)}{h}$

• 여기서 h는 dx로 무한히 작다를 의미하는 것은 아니다?

앱실론/델타

입력범위크기의 조절로 출력범위의 크기를 원하는 만큼 작게 만들 수 있다.
출력값에서 떨어진 거리 엡실론.
입력값에서 떨어진 거리 델타.
엡실론을 아무리 줄여도 델타는 존재한다!!!

로피탈

L’Hopital’s rule

$lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)}\\ =\frac {\frac d {dx} f(a) } {\frac d {dx} g(a)}$

$lim_{x \to 0} \frac {sin \pi x}{ x^2-1}\\ =\frac {\frac d {dx} sin \pi x } {\frac d {dx} x^2-1 }$

Author: crazyj7@gmail.com

미적분학의 본질

원의 넓이

동심원으로 일정한 두께로 잘라낸다.
하나의 동심원을 펴면 직사각형에 가깝고 넓이는 두께를 dr, 길이는 2$\pi$r

$하나의 링 Area \approx\ 2\pi r dr$
좌표축에 x축을 r로 보고, 0부터 3까지의 범위로 각 r에 해당할때 링의 길이를 세로축 y로 놓으면 직선 y=2$\pi$r 이 그려진다.
각 링을 해당 r 위치에 직사각형으로 놓으면 넓이는 dr. dr이 0에 가까울수록 (잘게 썰수록) 삼각형의 넓이가 된다.
즉, 면적은 이 그래프의 삼각형의 넓이가 되므로,
$\pi r^2$이 된다.

• 원의 넓이, 자동차가 움직인 거리. $y=x^2$그래프 아래의 넓이 등 복잡한 문제를 작게 쪼개서 합으로 풀 수 있다.
• x의 변화를 dx (아주 작은 크기)로 보고, 그 때의 넓이 변화를 dA라고 하자.
• dA를 x 도메인 범위로 확장을하여 합치면 A 전체 넓이가 된다.

$y=x^2 그래프 아래의 넓이 \\ x축 x의 작은 변화 dx에 대해\\ dx에 해당되는 넓이를 dA\\ \frac {dA}{dx} \approx x^2 \\ if \quad dx=0.001, at \quad x=3 \\ \frac {A(3.001)-A(3)}{0.001} \approx 3^2 \\ 즉, dx가 작을 수록 근사값이 실제값에 가까워진다.$

$f(x)그래프의 밑넓이 A(x) \\ = Integral \quad of \quad f(x) \\ dA = dx변화에서 넓이 변화. 높이는 f(x). 가로는 dx. \\ dA \approx f(x) dx \\ \frac {dA}{dx} \approx f(x) \\ dx \rightarrow 0 점점 더 정확해짐.$

• 위에서 f(x), $\frac {dA}{dx}$가 A의 도함수이다.
• dx가 0에 가까울 수록 어떤 비율이 된다는 의미. 접선의 기울기. 변화율.

도함수의 모순

흔히 도함수를 순간변화율이라고 하는데, 순간은 시간이 없기 때문에 변화가 없다. 따라서 이 말은 모순이다 .

s(t)를 자동차가 t시각에 위치한 지점.(이동 위치)라고 하고, x축을 t로 y축을 s로 한다.
v(t)는 자동차의 t시각에 속력을 나타냄.
여기서 v(t)는?? t에서의 속력.
$v(t) = \frac {ds}{dt}\\ \frac {ds}{dt}(t) = \frac {s(t+dt)-s(t)}{dt}$

• 문제는 속력을 재려면 두 시점이 필요하다. 정지된 사진 한 장으로는 속력을 잴 수 없다!!!
• dt를 아주 작은 구간으로 본다.
• t에서의 미분은 두 시점의 기울기가 아니라 특정한 점의 접선의 기울기 이다.
• dt는 무한히 작다는 것도 아니고, 0이라는 것도 아니다!!!
• 순간 변화율은 잘못된 표현이고, 한 점 근처의 변화율을 나타내는 최적의 상수 근사값이라고 생각할 수 있다.
• dt는 t에서 실질적 크기를 갖는 매우 작은 변화를 의미한다.

예제

$s(t) = t^3 \\ \frac {ds}{dt}(t) = \frac {s(t+dt)-s(t)}{dt}\\ =\frac {(t+dt)^3-t^3}{dt}\\ =\frac {t^3+3t^2dt+O(dt^2)-t^3} {dt}\\ =3t^2+O(dt)=3t^2$

기하를 통해 본 미분 공식

f(x)=x^2
한 변 길이가 x인 정사각형의 넓이로 볼 수 있다.
여기서 변의 길이를 dx 만큼 증가시키면…
df (증가량) = 2x dx + (dx)^2 이 된다.
df/dx = 2x+O(dx)
dx는 0가 가까우므로 의미있는 값은 2x가 된다.

• dx에 대해서 df를 관측할 경우는 의미있는 부분은 dx까지이고 (dx)^2부터는 무시할 수 있다. (0에 수렴하여 의미없는 값이 된다.)

• 아래 df에서 dx^2를 봐라.
  $f(x)=x^n의 미분. \\ \frac {df(x)}{dx}=\frac {(x+dx)^n-x^n}{dx}\\ (x+dx)^n=x^n+nx^{n-1}dx+O(dx^2) \\ O(dx^2)는 무시할 수 있다!\\ \frac {df(x)}{dx}=\frac {x^n+nx^{n-1}dx-x^n}{dx}= nx^{n-1} \\ \quad \\ 왜 무시해도 되냐면 아래와 같다. \\ \frac {df(x)}{dx}=\frac {x^n+nx^{n-1}dx+O(dx^2)-x^n}{dx}=nx^{n-1}+O(dx) \\ (dx \rightarrow 0) \\ \frac {df(x)}{dx}=nx^{n-1}$

• $f(x)=\frac 1 x$ 에서 미분을 해 보자. 기하학적으로 보면, 넓이가 1인 직사각형을 생각하면 된다. 가로 길이를 x, 높이는 1/x가 된다.

  • 이 때 dx에 대해 df를 보면 된다. x가 dx 증가할 때, 가로 길이는 dx가 증가하지만 세로 길이는 d(1/x)만큼 감소한다. 그 양쪽 증감 넓이는 동일해야 한다.
    $Area(+) = (\frac 1 x) dx \\ Area(-) = x d(\frac 1 x) \\ (\frac 1 x)dx = x ( \frac 1 x - \frac1{x+dx})\\ \frac {dx} x = 1 - \frac x {x+dx} = \frac {dx} {x+dx} \\ \frac 1 x = \frac 1 {x+dx} \\ 즉, dx가 0으로 수렴. 위 식은 맞다.$
  • df/dx
    $\frac {df}{dx} = \frac {f(x+dx)-f(x)}{dx} = \frac{ \frac 1 {x+dx} - \frac 1 x } {dx}\\ = \frac{ \frac{-dx}{x(x+dx)} }{dx} = -\frac {1}{x^2+xdx} \\ = - \frac 1 {x^2}$

Author: crazyj7@gmail.com