Integral problems

1. $\int \tan^5x \sec^3x dx$

cf) $\frac{d}{dx} \sec{x}=\sec{x} \tan{x}$
$1+\tan^2{x} = \sec^2{x}=\frac{d}{dx} \tan{x}$
use $\sec{x} \tan{x}$ part.
$\begin{aligned} &\int \tan^5x \sec^3x dx\\ &=\int tan^4xsec^2x \tan{x} \sec{x} dx\\ &(u = \sec{x} , du = \sec{x}\tan{x}dx)\\ &=\int tan^4xsec^2x du\\ &=\int (\sec^2{x}-1)^2sec^2{x} du \\ &=\int (u^2-1)^2u^2du\\ &=\int (u^4-2u^2+1)u^2du\\ &=\int u^6-2u^4+u^2du\\ &=\frac{1}{7}u^7-\frac{2}{5}u^5+\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{7}{\sec^7{x}}-\frac{2}{5}{\sec^5{x}}+\frac{1}{3}{\sec^3{x}}+C \end{aligned}$

2. $\int \frac{\cos{2x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx$

cf) $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=1-2\sin^2{x}=2cos^2{x}-1$

$\begin{aligned} &\int \frac{\cos{2x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\\ &=\int \frac{\cos{2x}(\cos{x}-\sin{x})} {(\sin{x}+\cos{x})(\cos{x}-\sin{x})}dx\\ &=\int \frac{\cos{2x}(\cos{x}-\sin{x})} {\cos^2{x}-\sin^2{x}}dx\\ &=\int \cos{x}-\sin{x}dx\\ &=\sin{x}+\cos{x}+C \end{aligned}$

3. $\int\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} dx$

cf)
$(x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)=\\ x^8-x^6+x^4+ x^6-x^4+x^2 +x^4-x^2+1\\ =x^8+x^4+1$
부분 분수로 나눠보자.
$\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}\\ =\frac{c}{x^2+ax+1}+\frac{d}{x^2+bx+1}\\ (미지수를 구한다)\\ =\frac{\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{3}x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{3}x+1}$
따라서 적분을 취하면.
$\int\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+\sqrt{3}x+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2-\sqrt{3}x+1}dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{1}{ (x+\frac {\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{ (x-\frac {\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}}dx$
먼저 왼쪽 부분을 계산해 보자. 제곱의 형태를 삼각치환해 보자. (1+tan^x 꼴로 만든다.)
$\frac{1}{2}\tan\theta=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$
$dx = \frac{1}{2}\sec^2\theta d\theta$
We know $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \tan^{-1}x+C$.
$\frac{1}{2}\int \frac{1}{ (x+\frac {\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}}dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{1}{\frac{1}{4}\tan^2\theta+\frac{1}{4}}dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{1}{\frac{1}{4}\sec^2\theta} \frac{1}{2}\sec^2\theta d\theta \\ =\theta+C = \tan^{-1}(2x+\sqrt{3})+C$
오른쪽 부분도 같은 방식으로 계산하면 된다.
$\frac{1}{2}\int \frac{1}{ (x-\frac {\sqrt{3}}{2})^2+\frac{1}{4}}dx\\ = \tan^{-1}(2x-\sqrt{3})+C$
$\therefore \int\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} dx\\ =\tan^{-1}(2x+\sqrt{3})+\tan^{-1}(2x-\sqrt{3})+C$

Check!!!

$\begin{aligned} &\frac{d}{dx} \tan^{-1}(2x+\sqrt{3})+\tan^{-1}(2x-\sqrt{3})+C\\ &= \frac{1}{1+(2x+\sqrt{3})^2}2+\frac{1}{1+(2x-\sqrt{3})^2}2\\ &= \frac{2}{4+4\sqrt{3}x+4x^2}+\frac{2}{4-4\sqrt{3}x+4x^2}\\ &= \frac{1}{2+2\sqrt{3}x+2x^2}+\frac{1}{2-2\sqrt{3}x+2x^2}\\ &= \frac{4x^2+4}{4x^4-4x^2+4}\\ &= \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} \end{aligned}$

• 다른 솔루션. (divide by x^2)
  $\begin{aligned} &\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}= \frac{1+\frac{1}{x^2} }{x^2-1+\frac{1}{x^2}}\\ &=\frac{1+\frac{1}{x^2} }{x^2-2+\frac{1}{x^2}+1}\\ &=\frac{1+\frac{1}{x^2} }{ (x-\frac{1}{x})^2+1}\\ \end{aligned}$
  $u=x-\frac{1}{x} \quad du=(1+\frac{1}{x^2}) dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} dx\\ &=\int \frac{1+\frac{1}{x^2} }{ (x-\frac{1}{x})^2+1} dx\\ &=\int \frac{1}{u^2+1} du \\ &=\tan^{-1} {u} +C \\ &=\tan^{-1} ({x-\frac{1}{x}}) +C \end{aligned}$

4. $\int (x+e^x)^2dx$

$\begin{aligned} &\int (x+e^x)^2dx\\ &=\int x^2+2xe^x+e^{2x} dx\\ &=\frac{1}{3}x^3+2\int xe^x dx+\frac{1}{2}e^{2x}+C\\ &=\frac{1}{3}x^3+2(xe^x-\int e^x dx)+\frac{1}{2}e^{2x}+C\\ &=\frac{1}{3}x^3+2(xe^x- e^x)+\frac{1}{2}e^{2x}+C \end{aligned}$

5. $\int \csc^3{x} \sec{x} dx$

$\begin{aligned} &\int \csc^3{x} \sec{x} dx \\ &= \int \frac{1}{\sin^3{x}\cos{x}} dx\\ &= \int \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\sin^3{x}\cos{x}} dx\\ &= \int \frac{\cot^2x+1}{\sin{x}\cos{x}} dx\\ &=\int \frac{\cot^2x}{\sin{x}\cos{x}}dx+\int \frac{1}{\sin{x}\cos{x}} dx\\ &= \int \frac{1}{\sin{x}\cos{x}} dx + \int \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}\sin{x}\cos{x}} dx\\ \end{aligned}$
(이하는 아래 계산 과정과 동일)

$1+\tan^2{x}=sec^2{x}$
$1+\cot^2{x}=csc^2{x}$

$\begin{aligned} &\int \csc^3{x} \sec{x} dx \\ &= \int (1+\cot^2{x})\csc{x} \sec{x} dx\\ &= \int \csc{x} \sec{x} + \cot^2{x}\csc{x} \sec{x} dx\\ &= \int \csc{x} \sec{x} dx + \int \cot^2{x}\csc{x} \sec{x} dx\\ &= \int \frac{1}{\sin{x}\cos{x}} dx + \int \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}\sin{x}\cos{x}} dx\\ &= \int \frac{\cos{x}}{\sin{x}}+\frac{\sin{x}}{\cos{x}} dx + \int \frac{\cos{x}}{\sin^3{x}} dx\\ &=\int \cot{x} dx + \int \tan{x} dx +\int \frac{\cos{x}}{\sin^3{x}} dx\\ &=\ln|\sin{x}| - \ln |\cos{x}|+\int \frac{\cos{x}}{\sin^3{x}} dx\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\int \frac{\cos{x}}{\sin^3{x}} dx\\ &(u = \sin{x} \quad du = \cos{x} dx)\\ &=\int \frac{1}{u^3} du \\ &=-\frac{1}{2u^2} = -\frac{1}{2\sin^2{x}} \end{aligned}$

So,
$=\ln|\sin{x}| - \ln |\cos{x}|+\int \frac{\cos{x}}{\sin^3{x}} dx\\ =\ln|\sin{x}| - \ln |\cos{x}|-\frac{1}{2\sin^2{x}}+C\\ =\ln|\sin{x}| - \ln |\cos{x}|-\frac{1}{2}\csc^2{x}+C\\ =-\frac{1}{2}\csc^2{x}+\ln|\sin{x}| - \ln |\cos{x}|+C\\ =-\frac{1}{2}\csc^2{x}+\ln|\tan{x}| +C$

6. $\int\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}-5\sin{x}-6}dx$

$\begin{aligned} &\int\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}-5\sin{x}-6}dx\\ &=\int \frac{\cos{x}}{(\sin{x}-6)(\sin{x}+1)}dx\\ & (u = \sin{x} \quad du = \cos{x} dx) \\ &=\int \frac {1} {(u-6)(u+1)} du\\ & \frac {1} {(u-6)(u+1)} = \frac{a}{u-6}+\frac{b}{u+1}\\ &a+b=0, a-6b=1, 7a=1, a=\frac{1}{7}, b=-\frac{1}{7}\\ &=\frac{1}{7}\int \frac{1}{u-6}dx -\frac{1}{7}\int \frac{1}{u+1} dx \\ &=\frac{1}{7} \ln|u-6|-\frac{1}{7}\ln|u+1|+C\\ &=\frac{1}{7} \ln |\sin{x}-6|-\frac{1}{7}\ln|\sin{x}+1|+C\\ &=\frac{1}{7} \ln \big | \frac{\sin{x}-6}{\sin{x}+1} \big |+C \end{aligned}$

7. $\int \frac{1}{\sqrt{e^x}} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt{e^x}} dx\\ &= \int e^{-\frac{x}{2}} dx \\ &= \frac{1}{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{x}{2}}\\ &=-2e^{-\frac{x}{2}}\\ &= -\frac{2}{\sqrt{e^x}}+C \end{aligned}$

8. $\int \frac{e^x \sqrt{e^x-1}}{e^x+3} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{e^x \sqrt{e^x-1}}{e^x+3} dx\\ &u=\sqrt{e^x-1}, \quad du=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{e^x-1} } e^x dx\\ Q&=\int \frac{u}{u^2+4} 2 \sqrt{e^x-1} du\\ &=2\int \frac{u^2}{u^2+4} du\\ &=2\int \frac{u^2+4-4}{u^2+4} du\\ &=2\int 1-\frac{4}{u^2+4} du \\ &=2 \left [ u-4\int \frac{1}{u^2+2^2} du \right ] +C\\ &=2 \left [ u-4 \frac{1}{2} \arctan \frac{u}{2} \right ] +C\\ &=2u-4\arctan \frac{u}{2} +C \\ &=2\sqrt{e^x-1}-4\arctan \frac{\sqrt{e^x-1}}{2} +C \\ \end{aligned}$
Again…
$\begin{aligned} &\int \frac{e^x \sqrt{e^x-1}}{e^x+3} dx\\ & (u=e^x-1, \quad du=e^xdx) \\ Q&=\int \frac{\sqrt{u}}{u+4} du\\ & (t = \sqrt{u} , \quad dt = \frac{1}{2\sqrt{u}} du, du=2\sqrt{u}dt) \\ &=2\int \frac{t^2}{t^2+4} dt =2\int \frac{1}{1+\frac{4}{t^2}} dt=2\int \frac{1}{1+(\frac{2}{t})^2} dt\\ &(s=\frac{2}{t}, t=\frac{2}{s} , ds =-\frac{2}{t^2}dt )\\ &=2\int \frac{1}{1+s^2} (-\frac{t^2}{2}) ds \\ &=-\int \frac{t^2}{1+s^2} ds =-\int \frac{\frac{4}{s^2}}{1+s^2} ds\\ &=-4\int \frac{1}{s^2(1+s^2)}ds =-4\int \frac{1}{s^2}-\frac{1}{1+s^2} ds \\ &=-4\int\frac{1}{s^2} ds+4 \int \frac{1}{1+s^2} ds \\ &=-4(-1)\frac{1}{s}+4 \arctan{s} +C \\ &=\frac{4}{\frac{2}{t}} + 4 \arctan{ \frac{2}{t} } +C =2t + 4 \arctan \frac{2}{t} +C \\ &= 2 \sqrt{u} + 4 \arctan \frac{2}{\sqrt{u}} +C\\ &= 2 \sqrt{e^x-1} + 4 \arctan \frac{2}{\sqrt{e^x-1}} +C\\ \end{aligned} \\Fail\\ \text{Where is Incorrect?} \\$

Where is incorrect?? … No. It’s all right.
$\arctan{\frac{1}{x}} = \frac{\pi}{2}-\arctan{x} ,(x>0)$
So, Integration constant is ignored.

$\begin{aligned} &= 2 \sqrt{e^x-1} + 4 \arctan \frac{2}{\sqrt{e^x-1}} +C\\ &= 2 \sqrt{e^x-1} + 4 ( \frac{\pi}{2}-\arctan \frac{\sqrt{e^x-1}}{2}) +C\\ &= 2 \sqrt{e^x-1} - 4\arctan \frac{\sqrt{e^x-1}}{2}+2\pi +C\\ &= 2 \sqrt{e^x-1} - 4\arctan \frac{\sqrt{e^x-1}}{2} +C_2\\ \end{aligned}$

9. $\int \frac{1}{x+\sqrt{x}} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{x+\sqrt{x}} dx\\ & (t=\sqrt{x}, t^2=x, dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx)\\ &=\int \frac{1}{t^2+t}{2\sqrt{x}}dt=\int \frac{2t}{t^2+t}dt\\ &=2\int \frac{1}{1+t}dt=2\ln|1+t|+C\\ &=2\ln|1+\sqrt{x}|+C \end{aligned}$

10. $\int_{-1}^{5}|x-3| dx$

$\begin{aligned} &\int_{-1}^{5}|x-3| dx \\ &=\int_{-1}^{3} |x-3|dx + \int_{3}^{5} |x-3| dx\\ &=\int_{-1}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{5} x-3 dx\\ &=\left[ 3x-\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{3} + \left[ \frac{x^2}{2}-3x \right]_{3}^{5} \\ &=(9-\frac{9}{2})-(-3-\frac{1}{2})+(\frac{25}{2}-15)-(\frac{9}{2}-9)\\ &=\frac{9}{2}+\frac{7}{2}-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}\\ &=10 \end{aligned}$

Author: crazyj7@gmail.com

DOS Batch

윈도우 커맨드에서 실행하는 DOS 스크립트 작성 방법. 쉽지만 막상 필요한 것을 하고 싶을 때 쉽지만은 않다. 자료가 많이 부족하다.

주석

• 주석 명령은 설명문으로 실행되지 않는다.
• rem 으로 실행하고 뒤에 주석문(아무 스트링)을 입력하면 된다. 주석은 프로그래밍시에 간략한 설명을 위한 것이다.
• @rem test message… : 앞에 @를 붙이면 배치파일 실행시 rem 커맨드 출력이 안되도록 한다. 물론 그 전에 @echo off을 해 두었다면 @을 붙일 필요없다.
• 더 간단하게는 :: 으로 시작하면 주석이 된다. 이것은 커맨드 출력도 되지 않아 더 간편히 사용할 수 있다. rem과 다르게 아예 없는 것으로 취급된다.

변수와 출력

• dos batch는 파일 확장자를 .bat 또는 .cmd로 하여 메모장으로 텍스트 파일로 작성하면 된다.
• 기본 적인 출력은 “echo” 커맨드가 있다. 뒤에 출력할 내용을 적으면 된다.
• 출력 내용에 변수명을 적어 변수값을 출력할 수 도 있다. 또한 변수중에는 미리 시스템에서 정의된 값들도 있어서 유용하다.
• 변수 설정은 set으로 변수이름과 값을 =으로 할당한다.
• 변수 사용시에는 변수 이름 앞뒤로 %를 붙인다. 변수 삭제는 빈 값을 할당한다. (빈 값이 있는 변수로 만드는 것이 아니라 변수 자체를 삭제한다는 의미!)

SET FOO=hello world
echo %FOO%
echo %FOO%xxx%FOO%
SET FOO=

• for문의 변수 이름은 커맨드창에서 바로 실행할 때 영문자앞에 %를 붙인다. 그러나, Dos batch file(.bat)에서 for문의 변수 영문자 앞에 %% 이렇게 %를 두 개 붙인다!

c:\> copy con test1.bat
@echo off
@rem this is a test batch...
set aaa=hello
echo %aaa%
echo %1
^Z
c:\> test1 kim
hello
kim

• @echo off는 이후에 echo 실행명령은 출력하지 않고, 결과만 출력하도록 한다.

• batch 파일 실행시 뒤에 파라미터를 줄 수 있는데, 순서대로 %1, %2, … 이렇게 변수로 사용할 수 있다.

• 줄바꿈. 엔터 입력. 빈 줄 출력

echo.

• 공백으로 시작하는 문자열 출력

echo. aaa
echo aaa (이것도 이제는 가능함. 앞에 공백 두 개)

• 특수 문자 출력시 앞에 ^를 사용

echo ^< 이것은 꺾은 괄호 ^>
echo ^| 파이프
echo ^^ 두 개 입력시 하나 출력

스트링 처리

• 문자열 추출 mid / substr

FOO 변수의 값에서 인덱스 6부터 3글자를 추출. (인덱스는 0부터 시작) 뒤에 수를 생략하면 끝까지를 의미함. -1은 마지막 바로 한글자를 의미.
set BAR=%FOO:~6,3%
set BAR=%FOO:~5%
set BAR=%FOO:~-3% : FOO가 파일명일떄 마지막 세글자(확장자명)을 가져온다.

연산

• 수 값을 할당하거나 연산하려면 SET /a를 사용한다.

set /a num=4*8+8/2+122
set /a num=1
set /a num+=2
if %num% GEQ 3 echo big

환경 변수

%CD% : 현재 작업 디렉터리
%DATE% : date 커맨드와 같은 포맷의 날짜
%TIME%
%RANDOM% : 0~32767 범위의 수
%ERRORLEVEL%
%CMDCMDLINE%

파라미터

• 파라미터는 %1, %2, 등으로 받는다. (%0은 배치파일 이름 자체임. %9까지 가능)
• %*은 모든 파라미터를 의미함.
• 파리미터 내부에 공백이 있으면 커맨드상에서 파라미터를 "로 둘러싼다. 단, 스크립트에서 "를 제거하고 받으려면 %~1, %~2 로 받는다.
• 파라미터가 없으면 종료

if “%1” == “” goto :eof
파라미터에 "를 추가해 주어야 한다.’

Redirect

• stderr까지 파일로 기록

cmd /c “test.exe” > “output.txt” 2>&1

• 실행만 하고 출력은 없앰 (no output)

dir > nul
nul 이라는 파일은 생성되지 않는다. (NUL 대소문자 상관없음. 주의! L이 한 개임.)

type nul > a
0바이트짜리 a라는 파일 생성

program 2>output.txt
stderr 출력을 파일로 기록

배치내에서 배치 실행하기

call b.bat param1 param2

• 동시 실행

start /d “directory…” /b program.exe
start /d “directory…” /b program.exe

디렉터리 경로명 이동

cd /d e:\temp

반복문 for

• integer 증가

for /L %%n in (1,1,100) do net user %%n /add
1부터 100까지 증가하고, 숫자로 계정명으로 사용자를 추가한다.
(for의 변수는 커맨드로 실행시에는 %하나 batch file인 경우는 %% 두개를 사용한다.)

• 1부터 5까지 출력

for /L %n in (1,1,5) do echo %n

• 1부터 5까지 출력. 2씩 건너뜀.

for /L %n in (1,2,5) do echo %n
1,3,5 각각 한 줄로 출력됨.

goto

• 종료시

goto :eof 또는 goto:eof
eof 레이블은 만들필요없이 미리정의된 거라 그대로 사용 가능
또는 exit /b 0

• 레이블 지정과 goto

레이블 지정시에는 앞에 :을 붙이고 goto 시에는 :를 빼야 한다.
:loop
echo infinite…
goto loop

Sleep

@rem 3sec sleep
@ping 1.2.3.4 -n 1 -w 3000 > NUL

IF

• 조건 판단
• 같은지 확인 == 앞 뒤에 공백은 없어도 됨.

if %var% == 1 goto done
echo a
:done
echo b

• if else : 괄호, 공백 주의

if %var% == 0 (
echo a
) else (
echo b
)

• /i 옵션 : 대소문자 구분 없이 비교. (case-insensitive)

사용자 입력/텍스트파일변수

• yn 선택지 (or 스트링 입력)

set /p result=message (Y/N)?
echo %result%
빈 값을 검사하려면 아래 코드를 참고

@echo off
:: init var for empty string.
set "result="
set /p result=are you ok(y/n)?
if "%result%" == "" (
echo no input
goto :eof
)
if /i "%result%"=="y" goto YES
if /i "%result%"=="n" goto NO

echo your input is %result%

• 텍스트 파일을 첫 행을 읽어 변수에 할당

set /p var=<%temp%\filename.txt

> copy con lines.txt
hello1
hello2
hello3
^Z
> set /p var=<lines.txt
> echo %var% %var%
hello1 hello1

디렉터리

• 중간 디렉터리까지 모두 생성. mkdir 대신 md를 사용

md “a\b\c”

• 하위 파일/디렉터리 모두 삭제. /s 옵션

rmdir /s “dirname”

기타

• 종료 : exit

exit /b 0 : /b는 cmd창은 남겨둔다는 의미. 뒤의 숫자는 프로그램 종료 리턴값. (다른 배치에서는 이 값을 errorlevel 변수로 받아 사용할 수 있다.)

• 파일 병합 / 붙이기 concate
• 파일 세 개를 붙여서 하나의 파일로 만든다.

copy 1.txt + 2.txt + 3.txt out.new /b

• 배치 파일에서 다른 배치 파일 실행하기

call b.bat : call을 사용한다. 그냥 b.bat로 실행하면? b.bat가 종료시 나머지 스크립트로 돌아오지 않고 종료된다.

Author: crazyj7@gmail.com
Written with StackEdit.