integral_br_91

91. $\int \frac{x}{1 + x^4} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{x}{1 + x^4} dx \\ &u=x^2, du=2xdx\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u^2}du=\frac{1}{2}arctan(u)\\ &=\frac{1}{2}arctan(x^2)+C\\ \end{aligned}$

92. $\int e^{\sqrt x} dx$

$\begin{aligned} &\int e^{\sqrt x} dx \\ & u=\sqrt x , du=\frac{1}{2\sqrt x} dx\\ &\int e^u 2udu=2\int ue^udu=2( ue^u-e^u )\\ &=2e^{\sqrt x}(\sqrt x -1 )+C \end{aligned}$

93. $\int \frac{1}{csc(x)^3} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{csc(x)^3} dx \\ &=\int sin^3(x) dx=\int sin(x)(1-cos^2x)dx\\ &=\int sin(x)dx-\int sin(x)cos^2xdx\\ &(u=cos(x), du=-sin(x)dx)\\ &=-cos(x)+\int u^2du=-cos(x)+\frac{1}{3}u^3+C\\ &=-cos(x)+\frac{1}{3}cos^3x+C \end{aligned}$

94. $\int \frac{arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} \\ &( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -int-> arcsin(x) )\\ &u=arcsin(x), du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=\int u du = \frac{1}{2} u^2=\frac{(sin^{-1}x)^2}{2}+C \end{aligned}$

95. $\int \sqrt{1 + sin(2x)} dx$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{1 + sin(2x)} dx \\ &u=sin(2x) , du=2cos(2x)dx\\ &=\int \sqrt {1+u} \frac{1}{2cos(2x)}du =\frac 1 2 \int \sqrt {1+u} \frac {1}{1-2sin^2(x)}du \\ &=\frac 1 2 \int \sqrt u \frac{1}{1-2(u-1)^2}du =\frac 1 2 \int \sqrt u \frac{1}{-2u^2+4u-1}du \\ & not work \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{1 + sin(2x)} dx \\ &u=\sqrt{1 + sin(2x)}, du=\frac{2cos(2x)}{2\sqrt{1 + sin(2x)}}dx\\ &u^2-1=sin(2x)\\ &=\int u\frac{u}{cos(2x)} du = \int \frac{u^2}{\sqrt{1-(u^2-1)^2}}du\\ & t=u^2-1, dt=2udu\\ &=\frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt{1-t^2}}dt=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}\sqrt{1+t}}dt \\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{2}\int (1-t)^{-1/2}dt=\frac 1 2 (2)(1-t)^{1/2}\\ &=\sqrt{1-t}=\sqrt{2-u^2}=\sqrt{2-(1+sin(2x))}\\ &=\sqrt{1-sin(2x)}+C\\ &=\sqrt{cos^2x+sin^2x-2sinxcos}+C=|cosx-sinx|+C \end{aligned}$
Alt.
$1=sin^2x+cos^2x\\ \int \sqrt{1 + sin(2x)} dx =\int \sqrt {sin^2x+cos^2x+2sinxcosx} dx\\ =\int (sinx+cosx)dx=-cosx+sinx+C$

96. $\int x^{1/4} dx$

$\begin{aligned} &\int x^{1/4} dx \\ &=\frac 4 5 x^{\frac 5 4}+C \end{aligned}$

97. $\int \frac{1}{1 + e^x}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{1 + e^x} dx \\ & u = 1+e^x, du=e^x dx \\ &=\int \frac {1}{u} \frac{1}{u-1}du=\int \frac{-1}{u}+\frac{1}{u-1}du \\ &=-ln|u|+ln|u-1|\\ &=ln|\frac{u-1}{u}|=ln|\frac{e^x}{1+e^x}|+C\\ &=x-ln(1+e^x)+C \end{aligned}$

98. $\int \sqrt{1 + e^x} dx$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{1 + e^x} dx \\ & u=\sqrt{1+e^x}, du=\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}dx\\ &=\int u \frac{2u}{e^x}du=2\int \frac {u^2-1+1}{u^2-1}du\\ &=2(u-\int \frac{1}{1-u^2} du)=2u-2arctanh(u)+C\\ &=2\sqrt{1+e^x}-2tanh^{-1}(\sqrt{1+e^x})+C\\ &=2\sqrt{1+e^x}-2\frac{1}{2}ln |{\frac{1+\sqrt{1+e^x}}{1-\sqrt{1+e^x}}}|+C\\ &=2\sqrt{1+e^x}+ln |{\frac{1-\sqrt{1+e^x}}{1+\sqrt{1+e^x}}}|+C\\ \end{aligned}$
$arctanh{x}=\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|$

99. $\int \frac{\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac {\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}dx =\int \frac {\sqrt{tan(x)}}{2sin(x)cos(x)} dx\\ &u=\sqrt {tan(x)}, du=\frac{sec^2x}{2\sqrt{tanx}}dx \\ &=\int \frac {u}{2sinxcosx}\frac{2u}{sec^2x}du \\\\ &=\int \frac{2tan(x)cos(x)}{2sinx} du \\ &=\int du= u =\sqrt{tan(x)}+C \end{aligned}$

100. $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + sin(x)} dx$

$\begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + sin(x)} dx \\ & \text{div cos} \\ &=\int \frac{secx}{secx+tanx}dx\\ & u=secx+tanx, du=(secxtanx+sec^2x )dx\\ &=\int \frac{secx}{u} \frac{1}{secx(tanx+secx)}du\\ &=\int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u}\\ &=-\frac{1}{secx+tanx}+C=-\frac{cosx}{1+sinx}+C \\ & -\frac{cosx}{1+sinx} ]_0^{\pi/2} =0-(-1)\\ &=1 \end{aligned}$
Alt.
$\begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + sin(x)} dx \\ &=\int_0^{\pi/2} \frac{1-sin(x)}{1 - sin^2(x)} dx =\int \frac{1-sin(x)}{cos^2(x)} dx\\ &=\int sec^2x-sec(x)tan(x)dx=tan(x)-sec(x)+C\\ &=tan(x)-sec(x) ]_0^{\pi/2} not solve. \\ &=\frac{sin(x)-1}{cos(x)}=-\frac{cos^2(x)}{cos(x)(1+sin(x))}=-\frac{cos(x)}{1+sin(x)} \end{aligned}$

101. $\int \frac {sin(x)} x + ln(x)cos(x) dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{sin(x)}{x} + ln(x)cos(x) dx \\ &=\int \frac{sinx}{x}dx+\int ln(x)cos(x)dx\\ &=sin(x)ln(x)- \int cos(x)ln(x)dx+\int ln(x)cos(x)dx\\ &=sin(x)ln(x)+C \end{aligned}$

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integral_br_90

90. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin(x)^3}{cos(x)^3 + sin(x)^3} dx$

try some.
$\begin{aligned} &\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin(x)^3}{cos(x)^3 + sin(x)^3} dx\\ &cos^3x+sin^3x=(cos^2x+sin^2x)(cosx+sinx)-cosxsin^2x-cos^2xsinx\\ &=cosx+sinx-cosxsin^2x-cos^2sinx\\ &=cosx(1-sin^2x)+sinx(1-cos^2x) \\ & u = cos(x), du=-sin(x)dx\\ &=\int \frac{sinx(1-u^2)}{u^3+sinx(1-u^2)} (-\frac{1}{sinx})du\\ & u=cos^3x+sin^3x, du/dx=3cos^2x(-sinx)+3sin^2xcosx \\ &=\int \frac{sinx(1-cos^2x)}{cos^3x+sin^3x}dx \\ &=\int \frac{1}{cot^3x+1}dx \end{aligned}$
$\int \frac{sin^3x}{cos^3x+sin^3x} dx\\ (cosx+sinx)^3 = cos^3x+sin^3x+3cos^2xsinx+3cosxsin^2x\\ =cos^3x+sin^3x+3cosxsinx(cosx+sinx)\\ =\int \frac{1}{cot^3x+1}dx=\int \frac{1}{(1+cot^2)(cotx)-cotx+1}dx\\ =\int \frac{1}{csc^2xcotx-cotx+1}dx\\ =\int \frac{tan^3x}{1+tan^3x}dx (u=tan x, du=sec^2x dx)\\ =\int \frac{u^3}{1+u^3}\frac{1}{sec^2x}dx$

fail… very hard…

$\begin{aligned} &\text{Hint: tan x, x=arctan subs... }\\ &\int \frac{sin^3x}{cos^3x+sin^3x} dx \\ &=\int \frac{tan^3x}{1+tan^3x}dx, \quad (x=tan^{-1}y, dx=\frac{1}{1+y^2}dy)\\ &=\int \frac{y^3}{1+y^3}\frac{1}{1+y^2}dy \\ &=\int \frac{y^3+1-1}{(1+y^2)(1+y^3)}dy \\ &=\int \frac{1}{(1+y^2)}-\int \frac{1}{(1+y^2)(1+y^3)}dy \\ &=arctan(y)-\int \frac{ay+b}{1+y^2}+\frac{cy^2+dy+e}{1+y^3} dy\\ & a+c=0, b+d=0, c+e=0, d+a=0, b+e=1\\ &=a=-c, b=-d, c=-e, d-c=0, -c+-c=1, c=d=-b=-a, \\ &c=d=-(1/2), a=b=e=(1/2)\\ &\frac{(1/2)y+(1/2)}{1+y^2}+\frac{-(1/2)y^2+(-1/2)y+(1/2)}{1+y^3}\\ &=arctan(y)-\int \frac{(1/2)y+(1/2)}{1+y^2}+\frac{-(1/2)y^2+(-1/2)y+(1/2)}{1+y^3} dy\\ &=arctan(y)-\frac 1 2\int \frac{1+y}{1+y^2}dy+\frac 1 2 \int \frac{y^2+y-1}{1+y^3} dy\\ &\int \frac{1+y}{1+y^2}dy =\int \frac 1 {1+y^2}dy+\int \frac y {1+y^2}dy\\ &=arctan (y)+\frac 1 2 ln|1+y^2|\\ &R=\int \frac{y^2+y-1}{1+y^3}=\int \frac {y^2}{1+y^3}dy+\int \frac {y-1}{1+y^3}dy\\ &\int \frac {y^2}{1+y^3}dy=\frac 1 3 ln(1+y^3)\\ &y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)\\ &\int \frac {y-1}{1+y^3}dy=\int \frac{ay+b}{y^2-y+1}+\frac{c}{y+1}dy\\ &a+c=0, b-c+a=0, b+c=1, a=-c, b=2c\\ &c=1/3, b=2/3, a=-1/3\\ &\int \frac {y-1}{1+y^3}dy=\int \frac{(-1/3)y+2/3}{y^2-y+1}+\frac{1/3}{y+1}dy\\ &=-\frac 1 3 \int \frac{y-2}{y^2-y+1}dy+\frac 1 3 \int \frac{1}{y+1}dy\\ &=-\frac 2 3 \int \frac{y-\frac 1 2-\frac 3 2 }{y^2-y+1}dy+\frac 1 3 ln|y+1|\\ &\int \frac{y-\frac 1 2-\frac 3 2 }{y^2-y+1}dy=\int \frac{y-\frac 1 2}{y^2-y+1}dy-\frac 3 2 \int \frac{1}{y^2-y+1}dy \\ &=\frac 1 2 ln(y^2-y+1) -\frac 3 2 \int \frac{1}{y^2-y+1}dy \\ &\int \frac{1}{y^2-y+1}dy=\int \frac {1}{tan^2x+1-tanx}sec^2xdx\\ &=\int \frac {sec^2x}{sec^2x-tanx}dx=\int \frac {\frac 1 {cos^2x}}{\frac{1-cosxsinx}{cos^2x}}dx=\int \frac 1 {1-cosxsinx}dx\\ &=\int \frac{2}{2- sin2x}dx\\ &\frac{1}{y^2-y+1}=c\frac {(ay+b)'}{1+(ay+b)^2}=\frac{ac}{a^2y^2+2aby+b^2+1}\\ &a/c=1, 2b/c=-1, (b^2+1)/ac=1, a=c=-2b\\ &(b^2+1)=(4b^2), 3b^2=1, b=\pm \frac 1 {\sqrt{3}} \\ &b=-\frac 1 {\sqrt 3}, a=c=\frac 2 {\sqrt 3}\\ &\frac{1}{y^2-y+1}=\frac 2 {\sqrt 3}\frac{\frac 2 {\sqrt 3}}{1+(\frac 2 {\sqrt 3}y-\frac 1 {\sqrt 3})^2}\\ &\int \frac{1}{y^2-y+1}dy=\frac 2 {\sqrt 3}\int \frac{\frac 2 {\sqrt 3}}{1+(\frac 2 {\sqrt 3}y-\frac 1 {\sqrt 3})^2} dy\\ &=\frac 2 {\sqrt 3}arctan(\frac 2 {\sqrt 3}y-\frac 1 {\sqrt 3})\\ & R=\int \frac{y^2+y-1}{1+y^3} dy = \frac1 3 ln(1+y^3)-\frac 2 3 ( \frac 1 2 ln(y^2-y+1)-\sqrt 3 arctan(\frac 2 {\sqrt 3} y-\frac 1 {\sqrt 3}) ) +\frac 1 3 ln(y+1)\\ &R=\frac 2 3 ln (y+1)+\frac 2 {\sqrt 3} arctan( \frac{2y-1}{\sqrt 3})\\ & \therefore Q=arctan(y)-\frac 1 2\int \frac{1+y}{1+y^2}dy+\frac 1 2 \int \frac{y^2+y-1}{1+y^3} dy \\ &=arctan(y)-\frac 1 2 ( arctan (y)+\frac 1 2 ln|1+y^2|)\\ &+\frac 1 2 ( \int \frac{y^2+y-1}{1+y^3} dy )\\ &=\frac 1 2 x-\frac 1 4 ln|1+tan^2x|+\frac 1 2 R\\ &=\frac 1 2 x-\frac 1 4 ln|1+tan^2x|+\frac{1}{3}ln|1+tanx|+\frac 1 {\sqrt 3}arctan(\frac {2tanx-1}{\sqrt 3}) \end{aligned}\\$
이렇게라도 해봤는데… 답이 안나옴…
답은 pi/4 라고 하니, 알아서 도전바람…
끈기 있게 다시 시도…

$\begin{aligned} &\int \frac{sin^3x}{cos^3x+sin^3x} dx \\ &=\int \frac{tan^3x}{1+tan^3x}dx, \quad (x=tan^{-1}y, dx=\frac{1}{1+y^2}dy)\\ &=\int \frac{y^3}{1+y^3}\frac{1}{1+y^2}dy \\ &=\int \frac{y^3}{(1+y^2)(1+y^3)}dy =\int \frac{y^3}{(1+y)(1+y^2)(1-y+y^2)}dy\\ &\frac{a}{y+1}+\frac{by+c}{y^2+1}+\frac{dy+e}{y^2-y+1}=\frac{ (a+b)y^2+(b+c)y+(a+c) }{y^3+y^2+y+1}+\frac{dy+e}{y^2-y+1}\\ &y^4( a+b +d)=0, y^3(b+c-a-b+e+d=1), y^2(a+c-b-c+a+b+e+d)=0,\\ &y(-a-c+b+c+e+d)=0, a+c+e=0\\ &a+c+e=0, -a+b+e+d=0, 2a+e+d=0, -a+c+d+e=1, a+b+d=0\\ &b+d=-a, -2a+e=0, e=2a, c=-3a, d=-4a, -a-3a-4a+2a=1\\ &a=-1/6, c=1/2, e=-1/3, d=2/3, b=-1/2\\ &Q=\int \frac{-1/6}{y+1}+\frac{(-1/2)y+(1/2)}{y^2+1}+\frac{(2/3)y+(-1/3)}{y^2-y+1} dy\\ &=-\frac 1 6 ln(y+1)- \frac 1 2 \int \frac{y-1}{y^2+1}dy+\frac 1 3 \int \frac{2y-1}{y^2-y+1} dy\\ &=-\frac 1 6 ln(y+1)- \frac 1 2 \int \frac y {y^2+1}dy +\frac 1 2 \int \frac 1 {y^2+1}dy+\frac 1 3 ln(y^2-y+1) \\ &=-\frac 1 6 ln(y+1)-\frac 1 4 ln(y^2+1)+\frac 1 2 arctan(y)+\frac 1 3 ln(y^2-y+1) \\ &\text{x= 0 to pi/2 , y=0 to inf. y=tan(x)}\\ &=\frac 1 2 x +\frac 1 {12} ( 4ln(y^2-y+1)-2ln(y+1)-3ln(y^2+1) )\\ &=\frac 1 2 x +\frac 1 {12} ln ( \frac{ (y^2-y+1)^4}{(y+1)^2(y^2+1)^3} ) \\ & (x=0, then Q=0 ) \\ & (x=\pi/2, then Q= \pi/4 , ( \lim_{y\to\infty} ln \frac{O(y^8)}{O(y^8)}=ln1=0) )\\ & \therefore Q=\frac {\pi}{4}\\ &Q=\frac 1 2 x +\frac 1 {12} ln ( \frac{ (y^2-y+1)^4} {(y+1)^2(y^2+1)^3} )\\ &=\frac 1 2 x +\frac 1 {12} ln( \frac{(1+tan^2x-tanx)^4}{(1+tanx)^2(1+tan^2x)^3})\\ &=\frac 1 2 x +\frac 1 {12} ln( \frac{(sec^2x-tanx)^4}{(1+tanx)^2(secx)^6})\\ &=\frac 1 2 x +\frac 1 {6} ln( \frac{(sec^2x-tanx)^2}{(1+tanx)(secx)^3})\\ &=\frac 1 2 x +\frac 1 {3} ln(\frac{1-cosxsinx}{cos^2x})-\frac 1 6 ln(\frac{cosx+sinx}{cos^4x})\\ &=\frac 1 2 x + \frac 1 3 ln(1-cosxsinx)-\frac 2 3ln(cosx)-\frac 1 6 ln(cosx+sinx)+\frac 2 3 ln(cosx)\\ &=\frac 1 2 x +\frac 1 3 ln(1-cosxsinx)-\frac 1 6 ln(cosx+sinx)+C\\ \end{aligned}$

https://math.stackexchange.com/questions/198083/int-frac-sin3x-sin3x-cos3x

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integral_br_81

81. $\int \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^3}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^3}dx \\ &(u=\frac{1}{x}, du=-x^{-2}dx)\\ &=\int sin(u)x^{-3}(-x^2)du=-\int sin(u)x^{-1}du=-\int u \sin(u)du\\ &=-( u(-cos(u))-(-sin(u)) )=ucos(u)-sin(u)\\ &= \frac{1}{x} cos( \frac{1}{x})-sin(\frac{1}{x})+C \end{aligned}$

82. $\int \frac{x-1}{x^4-1}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{x-1}{x^4-1}dx \\ &=\int \frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}dx= \int \frac{1}{(x^2+1)(x+1)}dx\\ & \frac{1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{ax+b}{x^2+1}+ \frac{c}{x+1}\\ & numerator:1= (c+a)x^2+(b+a)x+c+b\\ & a=-c, b=-a, c+b=1, c=(1/2), b=(1/2), a=(-1/2)\\ &=\int \frac{(-1/2)x+(1/2)}{x^2+1}dx+\int \frac{(1/2)}{x+1} dx\\ &=-\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1} dx \\ & (u=x^2+1, du=2xdx)\\ & (\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}ln|u|)\\ &=-\frac{1}{4}ln(x^2+1)+\frac{1}{2}tan^{-1}x+\frac{1}{2}ln|x+1|+C \end{aligned}$

83. $\int \sqrt{1+(x-\frac{1}{4x})^2}dx$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{1+(x-\frac{1}{4x})^2}dx \\ &(u=x-\frac{1}{4x}, du=(1+\frac{1}{4x^2})dx, u=\frac{4x^2-1}{4x})\\ &=\int \sqrt{1+u^2}\frac{4x^2}{4x^2+1}du=\int \sqrt{1+u^2}(1-\frac{1}{1+4x^2})du\\ & not solve...\\ & \int \sqrt{ x^2+\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{2} }=\int \sqrt{ (x+\frac{1}{4x})^2} dx=\int x+\frac{1}{4x} dx\\ &=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}ln|x|+C \end{aligned}$

84. $\int \frac{e^{tan(x)}}{1-sin(x)^2}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{e^{tan(x)}}{1-sin(x)^2} dx \\ &(u=tan(x), du=sec^2(x)dx) \\ &\int e^u sec^2xdx=\int e^udu=e^u\\ &=e^{tan(x)}+C \end{aligned}$

85. $\int \frac{arctan(x)}{x^2}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{arctan(x)}{x^2}dx \\ & D(arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2} , \int x^{-2} dx=-x^{-1}\\ &=arctan(x)(-x^{-1})-\int \frac{1}{1+x^2}(-x^{-1})dx\\ &=arctan(x)(-x^{-1})+\int \frac{1}{x(1+x^2)}dx\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}+\int \frac{c}{x}+\frac{ax+b}{x^2+1}dx\\ &(a+c)x^2+bx+c=1, c=1, b=0, a=-1\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}+\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{x}{x^2+1}dx\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}+ln|x|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+C\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}-\frac{1}{2}ln(\frac{1+x^2}{x^2})+C\\ \end{aligned}$

86. $\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{arctan(x)}{1+x^2} dx \\ &= arctan(x)arctan(x)-\int \frac{1}{1+x^2} arctan(x)dx\\ &=\frac{arctan^2(x)}{2}+C=\frac{(tan^{-1}x)^2}{2}+C \end{aligned}$

87. $\int ln(x)^2dx$

$\begin{aligned} &\int ln(x)^2dx \\ &=ln(x)^2(x)-\int 2ln(x)(1/x)xdx\\ &=xln(x)^2-2\int ln(x) dx = xln(x)^2-2(xln|x|-x)\\ &=x( ln(x)^2-2ln|x|+2) +C \end{aligned}$

88. $\int \frac{\sqrt{x^2+4}}{x^2}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{\sqrt{x^2+4}}{x^2} dx \\ &u=\sqrt{x^2+4}, du=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx\\ &=\sqrt{x^2+4}(-\frac{1}{x})-\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} (-\frac{1}{x})dx\\ &=-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+\int \frac{1}{x^2+4}dx\\ &=-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+\frac{1}{2}arctan({\frac{x}{2}})+C\\ \end{aligned}$

??? same???

Alt. $x=2tan\theta$
$dx=2sec^2\theta d\theta , R.T. angle=\theta, a=1, o=\frac{x}{2}, h=\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}\\ =\int \frac{2sec\theta}{4tan^2\theta} 2sec^2\theta d\theta=\int sec^3 \theta csc^2\theta cos^2\theta d\theta \\ =\int \frac{1}{cos \theta sin^2 \theta } d\theta=\int \frac{cos^2 \theta+sin^2 \theta }{cos \theta sin^2 \theta } d\theta \\ =\int cot\theta csc \theta d\theta+\int sec \theta d\theta \\ = -csc \theta + ln |sec \theta+tan\theta| \\ =- \sqrt{1+\frac{x^2}{4}}\frac{2}{x}+ln| \sqrt{1+\frac{x^2}{4}}+\frac{x}{2}| \\ =-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+ln|\frac{1}{2}(x+\sqrt{4+x^2})|+C\\ =-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+ln|x+\sqrt{4+x^2}|+C_2\\$

89. $\int \frac{\sqrt{x + 4}}{x} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{\sqrt{x + 4}}{x} dx \\ & u=\sqrt{x+4}, du=\frac{1}{2u}dx \\ &=\int \frac{u}{u^2-4} 2u du=2 \int \frac{u^2-4+4}{u^2-4} du\\ &=2( \int du +4\int \frac{1}{u^2-4} du)=2u+8\int\frac{1/4}{u-2}+\frac{-1/4}{u+2} du\\ &=2u+2ln|u-2|-2ln|u+2|\\ &=2\sqrt{x+4}+2ln|\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2}|+C \end{aligned}$

Author: crazyj7@gmail.com

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crawl1

Crawling 크롤링

파이썬으로 간단하게 Web 페이지 크롤링하기.

인터넷 상의 자료들을 프로그래밍을 하여 Web URL로 받아 분석하여 필요한 정보를 가공하는 작업.

1단계 HTML 그대로 받기

HTML이 있는 URL 주소를 입력하면 대부분 그대로 보이는 페이지를 긁어올 수 있다. (로그인 인증이 필요하거나 특정 조건이 필요한 경우는 고급 방식을 사용해야 한다.)

### daum 기사 수집  
import urllib.request  
from bs4 import BeautifulSoup  
  
url = 'https://m.media.daum.net/m/media/economic'  
  
conn = urllib.request.urlopen(url)  
# art_eco = conn.read()  
soup = BeautifulSoup(conn, "html.parser")  
  
# print(soup)  
with open('output.txt', 'wt', encoding='utf8') as f:  
    f.write(str(soup))

print로 출력할 수도 있지만 보통 내용이 많아 파일로 저장해서 분석한다.
스트링 검색으로 원하는 부분을 잘 찾는다.

2단계 HTML 파싱하여 필요한 부분만 뽑기

HTML 내용에서 일부만을 발췌하고 싶다면 HTML 구조를 파악하여 어떻게 필요한 부분만을 select 할 수 있는 방법을 알아야 한다. BeautifulSoup 모듈을 사용하면 그나마 쉽게(?) 추출할 수 있다.
보통 홈페이지의 HTML은 시일이 지나면 업데이트되어 구조가 변경될 경우 기존 select 규칙이 안먹힌다. 그 때 그 때 업데이트를 해주어야 정상적으로 동작할 것이다. (아래 예제가 안돌아가면 스스로 업데이트하길 바란다.)

파싱할 텍스트

<strong class="tit_thumb">  
<em class="emph_g"><a class="link_txt #series_title @2" href="/m/media/series/1366383">글로벌포스트</a></em>  
<a class="link_txt #article @2" href="http://v.media.daum.net/v/20191023082142459?f=m">中 암호화폐 투자자 "한국 시장은 고사 상태"</a>  
</strong>  
</li>  
<li>  
<a class="link_thumb #series_thumb @3" href="http://v.media.daum.net/v/20191023070002158?f=m">  
<img alt='[김현석의 월스트리트나우] "트럼프는 워런을 이기고 재선된다"' class="thumb_g" src="//img1.daumcdn.net/thumb/S176x136ht.u/?fname=https%3A%2F%2Fimg1.daumcdn.net%2Fnews%2F201910%2F23%2Fked%2F20191023070003367kwmc.jpg&amp;scode=media"/>  
</a>  
<strong class="tit_thumb">  
<em class="emph_g"><a class="link_txt #series_title @3" href="/m/media/series/465092">월스트리트나우</a></em>  
<a class="link_txt #article @3" href="http://v.media.daum.net/v/20191023070002158?f=m">"트럼프는 워런을 이기고 재선된다"</a>  
</strong>

태그로 가져오기

위에서 a태그들을 모두 가져와서 출력해 보자.
find_all은 리스트 타입으로 리턴한다. 앞에서부터 발견된 해당 태그들을 리스트 아이템으로 append 추가한다.
보통 너무 많이 출력되서 찾기가 힘들 정도이다. 하나씩 보자.

arta = soup.find_all("a")  
print(arta)

출력 결과

[<a class="link_daum #logo" href="http://m.daum.net/" id="daumLogo">
<img alt="Daum" height="25" src="//t1.daumcdn.net/media/news/news2016/m640/tit_daum.png" width="24"/>
</a>, <a class="tit_service #service_news" href="/m/media/" id="kakaoServiceLogo">뉴스</a>, <a class="link_relate link_entertain #service_enter" href="/m/entertain/">연예</a>, <a class="link_relate link_sport #service_sports" href="https://m.sports.media.daum.net/m/sports/">스포츠
                    </a>, <a class="link_search #GNB#default#search" href="http://mtop.search.daum.net/" id="link_search">
<span class="ico_media ico_search">통합검색</span>
</a>, <a class="link_gnb #media_home" href="/m/media/"><span class="txt_gnb">홈</span></a>, <a class="link_gnb #media_society" href="/m/media/society"><span class="txt_gnb">사회</span></a>, <a class="link_gnb #media_politics" href="/m/media/politics"><span class="txt_gnb">정치</span></a>, <a class="link_gnb #media_economic" href="/m/media/economic"><span class="screen_out">선택됨</span><span class="txt_gnb">경제</span></a>, <a class="link_gnb #media_foriegn" href="/m/media/foreign"><span class="txt_gnb">국제</span></a>, <a class="link_gnb #media_culture" href="/m/media/culture"><span class="txt_gnb">문화</span></a>, <a class="link_gnb #media_digital" href="/m/media/digital"><span class="txt_gnb">IT</span></a>, <a class="link_gnb #media_ranking" href="/m/media/ranking"><span class="txt_gnb">랭킹</span></a>, <a class="link_gnb #media_series" href="/m/media/series"><span class="txt_gnb">연재</span></a>, <a class="link_gnb #media_photo" href="/m/media/photo"><span class="txt_gnb">포토</span></a>, <a class="link_gnb #media_tv" href="/m/media/tv"><span class="txt_gnb">TV</span></a>, <a class="link_gnb #media_1boon" href="/m/media/1boon"><span class="txt_gnb">1boon</span></a>, <a class="link_gnb #media_exhibition" href="https://gallery.v.daum.net/p/home"><span class="txt_gnb">사진전</span></a>, <a class="link_thumb #article_thumb" href="http://v.media.daum.net/v/20191022192703507?f=m">
<img alt='WTO 개도국 지위 간담회 농민 반발로 파행..정부 "곧 결론낼 것"' class="thumb_g" src="//img1.daumcdn.net/thumb/S720x340ht.u/?fname=https%3A%2F%2Fimg1.daumcdn.net%2Fnews%2F201910%2F22%2Fyonhap%2F20191022192703823dgcc.jpg&amp;scode=media"/>
</a>, <a class="link_cont #article_main" href="http://v.media.daum.net/v/20191022192703507?f=m">
<strong class="tit_thumb">WTO 개도국 지위 간담회 농민 반발로 파행..정부 "곧 결론낼 것"</strong>
<span class="info_thumb"><span class="txt_cp">연합뉴스</span><span class="ico_news ico_reply">댓글수</span>25</span>
</a>, <a class="link_relate #article_sub @1" href="http://v.media.daum.net/v/20191022201613686?f=m">

클래스와 ID에 주목하라

보통 태그로 가져오게되면 여러군데 있는 정보들이 마구 섞여서 나온다. index 번호를 잘 찾는다 해도 금방 변경될 수 있다.
그나마 좀 나은 방법은 일반적으로 태그들의 속성이나 클래스를 두어 카테고리화하여 작성한 경우가 많으므로 그 정보들로 데이터를 잘 필터링해야 한다.
클래스로 검색하려면 soup.find 또는 find_all에서 class_=“클래스명” 지정해 주고, ID로 검색하려면 파라미터에 id=“아이디” 를 추가한다.
위 a 태그들 중에 기사 제목같은 것만 뽑고 싶은데, 클래스를 잘 보면 link_news 라고 된 부분만 추출해 보자.

arta = soup.find_all("a", class_='link_news')  
print(arta)

output

[<a class="link_news #RANKING#popular_female#article @1" href="http://v.media.daum.net/v/20191022040803988?f=m">
<em class="txt_age emph_g2">
<span class="num_news age20">20</span>대<span class="txt_arr">↓</span> </em>
                                        심상찮은 경제 2위 중국·4위 독일.. R의 공포 급속 확산
                                    </a>, <a class="link_news #RANKING#popular_female#article @2" href="http://v.media.daum.net/v/20191023143008200?f=m">
<em class="txt_age emph_g2">
<span class="num_news age30">30</span>대                                        </em>
                                        '내일채움공제' 첫 5년 만기자 탄생..중기부 "정책 확대·개선하겠다"
                                    </a>, <a class="link_news #RANKING#popular_female#article @3" href="http://v.media.daum.net/v/20191023161257078?f=m">
<em class="txt_age emph_g2">

어느 정도 뽑히면 이제 내부를 탐색

a 태그중 link_news 클래스 속성이 있는 것을 다 뽑았다. 여기서 딱 제목만 뽑고 싶은데…
태그내에 있는 텍스트만 추출하면?
a태그 하나씩 가져와서 텍스트만 출력하는데 텍스트 앞뒤 공백을 제거하자.

arta = soup.find_all("a", class_='link_news')  
for art in arta:  
    print(art.text.strip())

output

20대↓ 
                                        심상찮은 경제 2위 중국·4위 독일.. R의 공포 급속 확산
30대                                        
                                        '내일채움공제' 첫 5년 만기자 탄생..중기부 "정책 확대·개선하겠다"
40대                                        
                                        액상형 전자담배 '사용자제→중단' 권고..청소년 즉시중단

거의 다 나온 것 같은데, 쓸데없는 스트링이 더 있었다. 잘 보면 em 태그에 있는 것이 연령대 스트링이 추가된 것이다. 뒤에 기사제목이 별도의 태그가 없어서 태그로 추출도 어렵다.
이때는 내용들을 분해해서 list로 받아 index를 찾으면 된다. 하위 개체들 중 마지막이 해당 텍스트가 될 것이다.

arta = soup.find_all("a", class_='link_news')  
for art in arta:  
    print( art.contents[-1].strip() )

output

'내일채움공제' 첫 5년 만기자 탄생..중기부 "정책 확대·개선하겠다"
환자 1명이 '졸피뎀' 1만1456정 구입..국내 처방환자 176만명
액상형 전자담배 '사용자제→중단' 권고..청소년 즉시중단
돌아온 미세먼지의 나날들..'잿빛 하늘' 내년 봄까지 이어질 듯
구조조정 나선 LG디스플레이, 올해 적자 1조원 넘어설 듯
정부 "'개도국 포기' 논의" 농민들 불렀지만..시작부터 '아수라장'
경영난 위워크, 결국 손정의 품으로.."100억달러 더 투입"
이탄희 "검찰 전관예우 더 심각, 전화 한통 값 수천만원"

깔끔하게 제목만 뽑을 수 있었다.

좀 더 편하게 찾을 수는 없을까?

브라우저의 개발자 모드(F12 키를 누르면 나온다.)에서 원하는 텍스트를 찾아서 검사 또는 element 보기를 하면 해당 텍스트의 상위 태그 및 속성 정보들을 모두 볼 수 있다. 오른쪽창에서 해당 텍스트 위치가 있는 소스로 이동한다. 하단보면 태그 구조가 나온다.
이를 기반으로 필터링 규칙을 잘 잡으면 빨리 찾을 수 있을 것이다.
crawl1

위의 부분을 한 번 찾아보려고 시도했는데…

subnews = soup.find("div", "section_sub")  
realnews = subnews.find("div", "box_realtime")  
print(realnews)  
  
news = soup.find("span", "txt_g")  
print(news)

결과는

<div class="box_g box_realtime">
<h3 class="tit_g">실시간 주요 경제 뉴스</h3>
<ul category="economic" class="list_thumb">
</ul>
<a class="link_more #MAIN_NEWS#more" href="#none">더보기<span class="ico_news"></span></a>
</div>
None

안타깝게도 정보가 없다. 우리가 원하는 정보는 list_thumb 클래스ul 태그 내부인데 비어 있다.
실제로 이러한 경우가 종종 있다. 이 경우는 보통 html을 요청했을 때, javascript가 포함되어 브라우저에서 작동시켜야 내용이 채워지는 경우들이다. 따라서 html 자체만을 보는 것으로는 원하는 결과를 얻을 수 없다.

귀찮지만 이럴때는 다른 방식을 사용해야 한다.
가상의 브라우저를 만들어 JS를 구동시킨 결과를 파싱하면 되는 것이다.

다음화에서 계속…

Author: crazyj7@gmail.com

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integral_br_71

71. $\int 1/(cbrt(x)+1)dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}+1}dx \\ &(u=\sqrt[3]{x}, du=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}dx=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}dx=\frac{1}{3}u^{-2}dx)\\ &=3\int \frac{u^2}{u+1}du=3\int \frac{u^2-1+1}{u+1}du\\ &=3\int \frac{(u-1)(u+1)}{u+1}du+3\int\frac{1}{u+1}du \\ &=3(\frac{1}{2}u^2-u)+3ln|u+1|\\ &=\frac{3}{2}u^2-3u+3ln|u+1|+C\\ &=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x}^2-3\sqrt[3]{x}+3ln|\sqrt[3]{x}+1|+C\\ \end{aligned}$
Alt.
$(u=\sqrt[3]{x}+1, x=(u-1)^3, dx=3(u-1)^2du)\\ =\int \frac{1}{u} 3(u-1)^2du\\ =3\int \frac{u^2-2u+1}{u} du=3\int u-2+(1/u) du\\ =3(\frac{1}{2}u^2-2u+ln|u|)\\ =\frac{3}{2}(\sqrt[3]{x}+1)^2-6(\sqrt[3]{x}+1)+3ln|\sqrt[3]{x}+1|+C$

72. $\int \frac{1}{cbrt(x + 1)}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}dx \\ &(u=\sqrt[3]{x+1}, du=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}dx=\frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}}dx=\frac{1}{3}u^{-2}dx)\\ &=3\int \frac{u^2}{u}du=3\int u du \\ &=\frac{3}{2}u^2+C\\ &=\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}}+C \end{aligned}$
Alt.
(u=x+1)
$\begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}dx \\ &=\int u^{-\frac{1}{3}}du \\ &=\frac{3}{2}u^2+C\\ &=\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}}+C \end{aligned}$

73. $\int (sin(x)+cos(x))^2 dx$

$\begin{aligned} &\int (sin(x)+cos(x))^2dx \\ &=\int 1+2sin(x)cos(x)dx=x+\int sin(2x) dx\\ &=x-\frac{1}{2}cos(2x)+C \end{aligned}$

74. $\int 2xln(1+x) dx$

$\begin{aligned} &\int 2xln(1+x) dx =2\int xln(1+x) dx\\ & \text{(ln쪽을 미분하는 방향으로 부분적분)}\\ &=2( ln(1+x)\frac{1}{2}x^2-\int \frac{1}{1+x}\frac{1}{2}x^2dx )\\ &= ln(1+x)x^2-\int \frac{x^2}{1+x}dx = ln(1+x)x^2-\int \frac{x^2-1+1}{1+x}dx\\ &= ln(1+x)x^2-\int x-1+\frac{1}{1+x}dx\\ &= ln(1+x)x^2-\frac{1}{2}x^2+x-ln(1+x)+C\\ \end{aligned}$

75. $\int 1/(x(1+sin^2ln(x)))dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{x(1+sin^2ln(x))} dx \\ &( u=ln(x), du=\frac{1}{x}dx : 1/x과 ln(x)에서 치환 착안.)\\ &=\int \frac{du}{1+sin^2u} : (sin에 대해 치환, 변환(반각)해보고, cos으로 나눠도 본다.\\ & sec, tan을 만들 수 있다는 것을 착안.)\\ &=\int \frac{sec^2u}{sec^2u+tan^2u}du\\ &=\int \frac{sec^2u}{1+2tan^2u}du, (t=tanu, dt=sec^2udu)\\ &=\int \frac{dt}{1+2t^2}, (t=tanu, dt=sec^2udu)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan {\sqrt{2}t}=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan({\sqrt{2} tan(ln(x))})+C \end{aligned}$

76. $\int sqrt((1-x)/(1+x))dx$

Try
$\begin{aligned} &\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \\ &(\text{전체치환? 일부치환. 분자분모곱, pm 등})\\ &( u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}, du=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\frac{1-x+1+x}{1-2x+x^2}dx)\\ &( du = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\frac{2}{(1-x)^2}dx=\frac{1}{u(1-x)^2}dx)\\ &(u^2=\frac{1-x}{1+x}, xu^2+x=1-u^2, x=\frac{1-u^2}{1+u^2} )\\ &=\int u^2(1-x)^2 du =\int u^2(1-\frac{1-u^2}{1+u^2})^2du\\ &=\int u^2(\frac{2u^2}{1+u^2})^2 du = \int 4u^6(\frac{1}{1+u^2})^2du\\ \end{aligned}$
Try
$\begin{aligned} &\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \\ &(u=\frac{1-x}{1+x}, du=\frac{-1-x-(1-x)}{1+2x+x^2}dx=\frac{-2}{(1+x)^2}dx)\\ &( xu+u=1-x, x(u+1)=1-u, x=\frac{1-u}{1+u})\\ &=-\frac{1}{2}\int \sqrt{u} (1+x^2) du = -\frac{1}{2}\int \sqrt{u} (1+(\frac{1-2u+u^2}{1+2u+u^2})^2) du \\ &=-\frac{1}{2}\int \sqrt{u} (\frac{2+2u^2}{1+2u+u^2})^2 du \\ &=-2\int\sqrt{u}\frac{(1+u^2)^2}{(1+u)^4}du \end{aligned}$
Solve
$\begin{aligned} &\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx =\int \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} dx\\ &=\int \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} dx =\int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ & (u=1-x^2, du=-2xdx)\\ &=\sin^{-1}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\sin^{-1}x+\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du\\ &=\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C \end{aligned}$

77. $\int x^{x/ln(x)}dx$

Interesting…
$\begin{aligned} &\int x^{\frac{x}{ln(x)}} dx\\ &( (\frac{x}{ln(x)})'=\frac{ln(x)-1}{(ln(x))^2})\\ &(y=x^{\frac{x}{ln(x)}}, ln(y)=\frac{x}{ln(x)}ln(x))\\ &( \frac{1}{y}y'= \frac{ln(x)-1}{(ln(x))^2}ln(x)+\frac{x}{ln(x)}\frac{1}{x})\\ &( \frac{1}{y}y'= \frac{ln(x)-1}{ln(x)}+\frac{1}{ln(x)}=1)\\ &y'=y\\ &=x^{\frac{x}{ln(x)}}+C \end{aligned}$
Alt.
$\begin{aligned} &\int x^{\frac{x}{ln(x)}} dx = \int (e^{ln x})^{\frac{x}{ln(x)}}dx=\int e^x dx\\ &= e^x+C\\ &(x^{\frac{x}{ln(x)}}=e^x) \end{aligned}$

78. $\int arcsin(sqrt(x))dx$

$\begin{aligned} &\int arcsin(\sqrt x) dx \\ &( \text{ 루트부분을 치환. 부분적분} )\\ &( u = \sqrt x, u^2=x, 2udu=dx)\\ &=2\int u sin^{-1}(u) du= (arcsin은 미분가능)\\ &=2( sin^{-1}u \frac{1}{2}u^2-\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{1}{2}u^2 du )\\ &=u^2sin^{-1}u-\int \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2}}du\\ &=u^2sin^{-1}u+\int \frac{-1+1-u^2}{\sqrt{1-u^2}}du\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du+\int \sqrt{1-u^2}du\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\int \sqrt{1-u^2}du\\ \end{aligned}$

$\int \sqrt{1-u^2}du, (u=sin\theta, du=cos\theta d\theta)\\ =\int cos^2\theta d\theta=\frac{1}{2}\int1+cos2\theta d\theta=\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{2}\int cos 2\theta d\theta\\ =\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4} sin 2\theta =\frac{1}{2}sin^{-1}u+\frac{1}{2} sin \theta cos \theta\\ =\frac{1}{2}sin^{-1}u+\frac{1}{2} u \sqrt{1-u^2}$

$\begin{aligned} &\int arcsin(\sqrt x) dx \\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\int \sqrt{1-u^2}du\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\frac{1}{2}sin^{-1}u+\frac{1}{2} u \sqrt{1-u^2}\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\frac{1}{2}sin^{-1}\sqrt{x}+\frac{1}{2} \sqrt{x} \sqrt{1-x}\\ &=(\sin^{-1}x)(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\sqrt{x(1-x)}+C \end{aligned}$

79. $\int arctan(x) dx$

$\begin{aligned} &\int arctan(x) dx \\ &(y=arctan(x), x=tan(y), dx=sec^2ydy)\\ &=\int y sec^2y dy (부분적분)\\ &=y \tan(y)-\int tan(y) dy=x\arctan{x}+ln|cos y|+C\\ &=x\arctan{x}+ln|\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|+C\\ \end{aligned}$
Alt.
$\begin{aligned} &\int arctan(x) dx \\ &(\text{we know} \int \frac{1}{1+x^2} dx=arctan(x))\\ &=arctan(x) x -\int \frac{x}{1+x^2} dx (x^2을 치환)\\ &=x \arctan{x}-\frac{1}{2}ln|1+x^2|+C \end{aligned}$

80. $\int_0^5 f(x) dx$

if x<=2, f(x)=10
if x>=2, f(x)= $3x^2-2$
$\begin{aligned} &=\int_0^2 f(x)dx+ \int_2^5 f(x) dx \\ &=\int_0^2 10 dx+ \int_2^5 3x^2-2 dx \\ &=20+\bigg[x^3-2x \bigg ]_2^5=20+(115-4)\\ &=131 \end{aligned}$

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integral_br_61

61. $\int sqrt(x^2 + 4x)dx$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{x^2 + 4x}dx = \int \sqrt{x^2 + 4x+4-4}dx \\ &=\int \sqrt{(x+2)^2-4}dx (x+2=2sec\theta, dx=2sec\theta tan \theta d\theta)\\ &=\int \sqrt{(4sec^2\theta-4) } 2sec\theta tan \theta d\theta\\ &=\int 4sec\theta tan^2\theta d\theta =4 \int sec \theta (sec^2\theta -1) d\theta \\ &=4\int sec^3 \theta d\theta -4\int sec\theta d\theta \end{aligned}$

$\int sec^3 x dx = \int sec x sec^2x dx=secxtanx-\int sec x tan^2 x dx\\ =sec x tan x-\int sec x (sec^2x-1)dx\\ =sec x tan x-\int sec^3x dx +\int sec x dx\\ 2\int sec^3x dx = secx tanx+ln|sec x+tan x|\\ \int sec^3 x dx = \frac{1}{2}(sec x tan x + ln |sec x + tan x|)+C$

$=4\int sec^3 \theta d\theta -4\int sec\theta d\theta\\ =2(sec \theta tan \theta + ln |sec \theta + tan \theta|)-4ln |sec \theta + tan \theta|\\ =2sec \theta tan \theta - 2ln|sec \theta + tan \theta|+C\\ (sec \theta = \frac{x+2}{2}, R.T. angle=\theta, a=2, h=x+2, o=\sqrt{x^2+4x})\\ =2 \frac{x+2}{2}\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}-2ln|\frac{x+2+\sqrt{x^2+4}}{2}|+C\\ =\frac{(x+2)\sqrt{x^2+4}}{2}-2ln|\frac{x+2+\sqrt{x^2+4}}{2}|+C\\ =\frac{(x+2)\sqrt{x^2+4}}{2}-2ln|x+2+\sqrt{x^2+4}|+C_2\\$

62. $\int (x^2)e^{x^3}dx$

$\begin{aligned} &\int (x^2)e^{x^3} dx \\ &(u=x^3, du=3x^2dx)\\ &=\int (x^2)e^{u} \frac{1}{3x^2} du=e^u\\ &=\frac{1}{3}e^{x^3}+C \end{aligned}$

63. $\int (x^3)e^{x^2}dx$

$\begin{aligned} &\int (x^3)e^{x^2}dx (u=x^2, du=2xdx)\\ &=\frac{1}{2}\int (x^2)e^udu=\frac{1}{2}\int ue^udu\\ &=\frac{1}{2} ( ue^u-e^u ) \\ &= \frac{1}{2}(x^2-1 )e^{x^2}+C \end{aligned}$

64. $\int tan(x)ln(cos(x))dx$

$\begin{aligned} &\int tan(x)ln(cos(x)) dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}ln(cos(x)) dx \\ &(u=cos(x), du=-sin(x)dx)\\ &=-\int ln(u)\frac{1}{u} du = -(ln(u)ln(u)-\int \frac{ln(u)}{u} du)\\ &[ 2\int \frac{ln(u)}{u} du = (ln(u))^2 ]\\ &=-\frac{1}{2}(ln(\cos x))^2+C \end{aligned}\\$
Alt.
$(u=ln(cos(x), du = -\frac{sin x}{cos x}dx=-tan x dx)\\ \int tan(x)ln(cos(x)) dx = -\int u du \\ =-\frac{1}{2}(ln(\cos x))^2+C$

65. $\int 1/(x^3 - 4x^2)dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{(x^3 - 4x^2)}dx \\ &=\int \frac{1}{x^2(x-4)}dx\\ &(\frac{ax+b}{x^2}+\frac{c}{x-4}=\frac{(c+a)x^2+(b-4a)x-4b}{x^2(x-4)})\\ &(b=-\frac{1}{4}, a=b/4=-\frac{1}{16}, c=-a=\frac{1}{16})\\ &=\int \frac{-\frac{1}{16}x-\frac{1}{4}}{x^2}dx+\int \frac{\frac{1}{16}}{x-4}dx\\ &=-\frac{1}{16} (\int \frac{x+4}{x^2}dx-\int \frac{1}{x-4}dx)\\ &=-\frac{1}{16} (\int \frac{1}{x}dx+4\int x^{-2}dx-ln|x-4|)\\ &=-\frac{1}{16} (ln|x|-\frac{4}{x}-ln|x-4|)+C \end{aligned}$

66. $\int sin(x)cos(2x)dx$

$\begin{aligned} &\int sin(x)cos(2x)dx =\int sin(x) (2cos^2(x)-1)dx\\ &=2\int sin(x)cos^2(x)dx-\int sin(x) dx (u=cos(x), du=-sin(x)dx)\\ &=-2\int u^2 du+cos(x)=-\frac{2}{3}u^3+cos(x)+C\\ &=-\frac{2}{3}cos^3(x)+cos(x)+C \end{aligned}$

67. $\int 2^{ln(x)} dx$

$\begin{aligned} &\int 2^{ln(x)} dx \\ &(y=2^{ln(x)}, log_2y=\frac{ln y}{ln 2}=ln(x))\\ &(\frac{1}{yln 2}dy=\frac{1}{x}dx, \frac{dy}{dx}=\frac{yln 2}{x})\\ &=\int y \frac{x}{yln 2}dy=\frac{1}{ln 2}\int x dy\\ &=\frac{1}{ln 2}\int e^{log_2y} dy\\ &=\frac{1}{ln 2}\int y^{log_2e} dy\\ &=\frac{1}{ln 2}\int y^{\frac{1}{ln 2}} dy\\ &(\frac{1}{ln 2}+1 =\frac{1+ln 2}{ln 2} )\\ &=\frac{1}{ln 2}\frac{ln2}{(1+ln 2)} y^{(\frac{1}{ln 2}+1)}\\ &=\frac{1}{(1+ln 2)} y y^{1/ln 2}\\ &=\frac{1}{(1+ln2)} 2^{ln x}2^{(ln x)(1/ln 2)}+C\\ &=\frac{1}{(1+ln2)} 2^{ln x}x^{(ln 2)(1/ln 2)}+C\\ &=\frac{x 2^{lnx}}{1+ln2}+C \end{aligned}$
Alt.
$\begin{aligned} &\int 2^{ln(x)} dx = \int x^{ln(2)} dx\\ &=\frac{1}{1+ln2}x^{(1+ln2)}+C\\ &=\frac{x x^{ln2}}{1+ln2}+C=\frac{x 2^{lnx}}{1+ln2}+C\\ \end{aligned}$

68. $\int sqrt(1+cos(2x)) dx$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{1+cos(2x)}dx \\ &=\int \sqrt{1+2cos^2x-1}dx=\sqrt 2 \int cos x dx\\ &=\sqrt 2 \sin x +C \end{aligned}$

69. $\int 1/(1+tan(x)) x$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{1+tan(x)} dx \\ &=\int \frac{1-tan(x)}{1-tan^2(x)} dx=\int \frac{1+2tan(x)-3tan(x)}{1-tan^2(x)} dx\\ &=\int tan(2x) dx + \int \frac{1-3tan(x)}{1-tan^2(x)}dx\\ &=-\frac{1}{2}ln|cos 2x|+ \int \frac{\frac{cosx-3sinx}{cosx}}{\frac{cos^2x-sin^2x}{cos^2x}}dx \\ &=-\frac{1}{2}ln|cos 2x|+ \int \frac{cos^2x-3cos x sinx}{cos^2x-sin^2x}dx \\ &=\int \frac{cos x}{cos x+sin x} dx (u=sinx, du=cosxdx)\\ &=\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2} + u} du\\ &=\int \frac{1+tan(x)}{1+tan^2(x)+2tan(x)} dx\\ &\int \frac{}{1+tan(x)} dx \\ &tan(2x)=\frac{2tan(x)}{1-tan^2(x)} \end{aligned}$
first!..
$\int \frac{1-tan(x)}{1+tan(x)} dx =\int \frac{cos-sin}{cos+sin} dx (u=cos+sin, du=-sin+cos dx)\\ =\int \frac{1}{u} du = ln|u|=ln|cos(x)+sin(x)|+C$
$\int \frac{1}{1+tan(x)} dx =\frac{1}{2}\int \frac{1-tan(x)+1+tan(x)}{1+tan(x)} dx\\ =\frac{1}{2} \int \frac{1-tan(x)}{1+tan(x)} dx +\frac{1}{2}x\\ =\frac{1}{2}ln|cos(x)+sin(x)|+\frac{1}{2}x+C$

70. $\int_{1/e}^e sqrt(1- ln(x)^2)/x dx$

$\begin{aligned} &\int_{1/e}^e \frac{\sqrt{1- ln(x)^2}}{x} dx (u=ln(x), du=\frac{1}{x} dx)\\ &=\int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^2} du =2\int_{0}^{1} \sqrt{1-u^2} du \\ &= \text{area half circle, radius 1} \\ &=\frac{\pi}{2}\\ & (u=sin \theta, du=cos\theta d\theta)\\ &=2\int_0^{\pi/2} cos^2\theta d\theta=\int_0^{\pi/2} 1+cos2\theta d\theta\\ &=\bigg[ \theta +\frac{1}{2}sin 2\theta \bigg]_0^{\pi/2}\\ &=\frac{\pi}{2} \end{aligned}$

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cmd(콘솔)창 관리자권한으로 실행하기

cmd 창을 자주 사용하는데, 가끔 관리자 권한이 필요해서 다시 창을 띄우는데 띄우기가 번거롭다.
윈도우 기본 기능으로 빨리 cmd창을 관리자 권한으로 실행할 수 없을까?

Ctrl+Shift+ESC 키를 누른다. (작업관리자 실행됨)
Alt를 계속 누른 상태로 F, N을 차례로 누른다.
cmd를 입력 후, 탭키, 스페이스키, 엔터 순서로 입력한다. (관리자 권한을 체크하여 실행)

Author: crazyj7@gmail.com

추가로... 더 간단한 방법이 있다...

윈도우키+X 후에 A를 누른다.

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windows_ipchange

Windows10 IP Change Command line

윈도우10에서 PC나 노트북 이동시 자주 사용하는 곳을 왔다갔다할 경우 자주 IP 변경해야 할 경우, 그 때마다 네트웍 설정을 해 주기가 너무 번거롭다.
이것을 커맨드 라인으로 자동화 할 수 있으면 편리하다.
이런 사용자들을 위한 팁.
윈도우 10 IP 변경 커맨드 라인

장소1

현재 네트웍 정보를 확인하고 화면캡쳐를 해둘것을 권장한다. 나중에 찾아볼때 편하다. 네트웍디바이스(NIC)명을 확인하고 ip address, network, gateway, dns 설정 등이다.

ip1
위에서 “이더넷 어댑터” 뒤에 나온 스트링을 잘 기억해야 한다. 보통은 “로컬 영역 연결” 이라고 나오는 것이 일반적이다. PC마다 다를 수 있어서 확인해 주어야 한다. 여기서는 “알수없음” 이라고 나와있어서 그렇게 작성하였다.

아래와 같이 배치 파일(network_pub.bat)을 만들어 준다. 이것은 장소1에서 현재의 네트웍 상태로 만들어주는 스크립트이다. 위에서 나오는 필드들을 잘 확인하여 자신에 맞는 형태로 바꾸어 주면 된다. (인터페이스명과 IP들만 바꿔준다.)

ip2

netsh int ip set address "알수없음" static 172.16.10.11 255.255.0.0 172.16.10.254 1
netsh int ip set dns "알수없음" static 172.16.10.1 primary  validate=no
netsh int ip add dns "알수없음" 168.126.63.1 index=2 validate=no

장소2

장소2에서도 마찬가지로 부여받은 고정IP로 네트웍을 설정한 후, 현재 상태를 확인한다. (이것도 별도로 화면캡쳐 해 두는 것이 좋다.)
이더넷 어탭터(NIC 인터페이스) 이름은 장소1에서 사용한 이름과 동일할 것이다. IP address, NetMask, Gateway, DNS IP를 확인한다.
ip3

이제 장소2의 네트웍 변경 커맨드를 아래와 같이 작성한다. (인터페이스명과 IP들만 바꿔준다.)

netsh int ip set address "알수없음" static 192.168.10.11 255.255.255.0 192.168.10.254 1
netsh int ip set dns "알수없음" static 8.8.8.8 primary validate=no

완료

주의!!! 위 배치 파일을 실행하기 위해서는!!!
cmd.exe 창을 열 때 반드시 관리자 권한으로 실행해야 한다.
(cmd 명령프로프트 아이콘에서 마우스 우클릭하여 관리자권한으로 실행)

이제 장소 1에서는 network_pub.bat를 실행하고, 장소2에서는 network_pri.bat를 실행하기만 하면 고정IP가 설정대로 변경될 것이다.
이제 더 이상 장소 이동시 귀찮은 네트웍 설정 변경 작업을 하지 않아도 된다!!!

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integral_br_51

51. $\int \sec^6x dx$

$\begin{aligned} &\int \sec^6x dx =\int \sec^2x sec^4 x dx\\ &(D( tanx ) \rightarrow sec^2x) \\ &=sec^4x tanx-\int 4sec^3xsecxtanxtanxdx\\ &=sec^4xtanx-4\int sec^4xtan^2x dx\\ &=sec^4xtanx-4\int sec^4xsec^2x-sec^4x dx\\ &=sec^4xtanx-4\int sec^6x dx+4\int sec^4x dx\\ &5\int sec^6x dx = sec^4xtanx+4\int sec^4 dx\\ &\int sec^4 dx=\int \sec^2x (1+\tan^2x) dx=\int sec^2x dx+\int sec^2xtan^2xdx\\ &=\tan{x}+\int sec^2xtan^2x dx\\ &\int sec^2xtan^2x dx (u=tan x, du= sec^2x dx)\\ &=\int u^2 du = \frac{1}{3}u^3=\frac{1}{3}\tan^3{x}\\ &5\int sec^6x dx = sec^4xtanx+4\int sec^4 dx\\ &=sec^4xtanx+4(tan x+\frac{1}{3}\tan^3{x})\\ &\therefore \int sec^6x dx=\frac{1}{5}sec^4xtanx +\frac{4}{5}tanx+\frac{4}{15}tan^3x +C\\ &=\frac{1}{5}(1+2tan^2x+tan^4x)tanx +\frac{4}{5}tanx+\frac{4}{15}tan^3x +C\\ &=\frac{1}{5}tan^5x+\frac{5}{5}tanx+\frac{10}{15}tan^3x +C\\ &=\frac{1}{5}tan^5x+\frac{2}{3}tan^3x+tan {x} +C\\ \end{aligned}$
Alternative

$\begin{aligned} &\int \sec^6x dx =\int (\sec^2x)^2 sec^2 x dx=\int (1+\tan^2x)^2 sec^2 x dx\\ &(u=tanx, du=sec^2x dx)\\ &=\int (1+u^2)^2 du = \int u^4+2u^2+1du=\frac{1}{5}u^5+\frac{2}{3}u^3+u\\ &=\frac{1}{5}tan^5x+\frac{2}{3}tan^3x+tan {x} +C\\ \end{aligned}$

52. $\int 1/(5x - 2)^4 dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{(5x - 2)^4}dx (u=5x-2, du=5dx)\\ &=\frac{1}{5}\int u^{-4}du=-\frac{1}{15}u^{-3}=-\frac{1}{15}(5x-2)^{-3}+C \end{aligned}$

53. $\int ln (1+x^2) dx$

$\begin{aligned} &\int ln (1+x^2)dx =\int 1*ln (1+x^2)dx \\ &=(ln|1+x^2|)(x)-\int \frac{2x^2}{1+x^2} dx\\ &=xln|1+x^2|-2\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx\\ &=xln|1+x^2|-2\int 1-\frac{1}{1+x^2} dx\\ &=xln|1+x^2|-2x+2\int\frac{1}{1+x^2} dx\\ &=xln|1+x^2|-2x+2 \arctan{x}+C\\ \end{aligned}$

54. $\int \frac{1}{x^4+x} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{x^4+x} dx =\int \frac{1}{x(x^3+1)}dx \\ &=\int \frac{1}{x(x+1)(x^2-x+1)}dx \\ &=\int \frac{1}{x}+\frac{-\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2-x+1}dx \\ &=ln|x|-\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{2}{3} \int \frac{x-\frac{1}{2}}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx\\ &=ln|x|-\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{1}{3} ln |x^2-x+1|+C\\ &=\frac{1}{3}ln|x^3|-\frac{1}{3}ln|x+1|-\frac{1}{3} ln |x^2-x+1|+C\\ &=\frac{1}{3}ln|x^3\frac{1}{(x+1)}\frac{1}{(x^2-x+1)}+C\\ &=\frac{1}{3}ln|\frac{x^3}{x^3+1}|+C=-\frac{1}{3}ln|\frac{x^3+1}{x^3}|+C\\ &=-\frac{1}{3}ln|1+x^{-3}|+C \end{aligned}$
Alternative (미분형태가 나오도록… 차수를 1차이나게…)
$\begin{aligned} &\int \frac{1}{x^4+x} dx =\int \frac{1}{x^4(1+x^{-3})}dx \\ &=\int \frac{x^{-4}}{1+x^{-3}}dx (u=1+x^{-3}, du=-3x^{-4}dx)\\ &=-\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}dx=-\frac{1}{3}ln|u|=-\frac{1}{3}ln|1+x^{-3}|+C \end{aligned}$

55. $\int \frac{1-tan x }{1+tan x} dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1-tan x }{1+tan x} dx \\ &=\int \frac{cos x-sin x }{cos x+sin x} dx =\int \frac{cos^2 x-sin^2 x }{(cos x+sin x)^2} dx \\ Alt. &= ln|cosx+sinx|+C\\ &=\int \frac{cos (2x) }{1+sin(2x)} dx (u=1+sin(2x), du = 2cos(2x)dx)\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du\\ &=\frac{1}{2}ln|1+sin(2x)|+C \end{aligned}$

$\frac{1}{2}ln|1+sin(2x)|=ln|\sqrt{1+2sinxcosx}|\\ =ln|\sqrt{cos^2x+sin^2x+2sinxcosx}|\\ =ln|cos x + sin x|$

56. $\int x·sec(x)·tan(x) dx$

$\begin{aligned} &\int x \sec{x} \tan{x} dx dx (D sec \rightarrow sec x tan x) \\ &=x sec x - \int sec x dx\\ &=x sec x - ln|sec x+tan x | + C\\ \end{aligned}$
Check…
$D(x \sec x - ln|\sec x+\tan x | ) \\ = \sec x+x(\sec x \tan x)-\frac{\sec x \tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x } \\ = \sec x + x \sec x \tan x - \sec x = x \sec x \tan x$

57. $\int arcsec(x) dx$

$\begin{aligned} &\int arcsec(x) dx \\ &( y=arcsec(x), x=sec(y), dx=sec(y)tan(y)dy )\\ &=\int y sec(y) tan (y) dy = y sec(y) - \int sec(y) dy \\ &=y sec(y) - ln | sec(y)+tan(y) | \\ &(R.T angle=y, a=1, h=x, o=sqrt(x^2-1) )\\ &=x arcsec(x)-ln |x+tan(arcsec(x)) |+C \\ &=x arcsec(x)-ln |x+\sqrt{x^2-1} |+C \\ \end{aligned}$
Alt.

$D(\arcsin{x}) \\ ( y=arcsec(x), x=sec(y), dx=sec(y)tan(y)dy )\\ =\frac{dy}{dx} = \frac{1}{sec(y)tan(y)}=cos^2y \csc y\\ =(\frac{1}{x})^2 \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$

$\int arcsec(x) dx = arcsec(x)(x)-\int \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} x dx \\ =x arcsec(x)-\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx (x=sec\theta, dx=sec\theta tan\theta d \theta)\\ =\int \frac{1}{tan \theta} sec\theta tan\theta d \theta\\ =\int sec \theta d \theta =ln|sec \theta+tan \theta|$

$\int arcsec(x) dx =x arcsec(x)-ln | sec \theta+tan\theta| \\ (R.T angle=\theta, a=1, h=x, o=sqrt(x^2-1))\\ \int arcsec(x) dx =x arcsec(x)-ln | x+\sqrt{x^2-1}| +C$

58. $\int (1 - cos(x))/(1 + cos(x)) dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1 - cos(x)}{1 + cos(x)}dx \\ &=\int \frac{1-2cos(x)+cos^2x}{1-cos^2x} dx =\int \frac{1-2cos(x)+cos^2x}{sin^2x} dx \\ &=\int \frac{1}{sin^2x}dx-2\int \frac{cos x}{sin^2 x}dx+\int \frac{cos^2x}{sin^2x} dx \end{aligned}$

$\int \frac{1}{sin^2x} dx=\int \frac{cos^2x + sin^2x}{sin^2x}\\ =\int \frac{cos^2x}{sin^2x} dx +x = \int cot^2x dx +x\\ =\int csc^2x-1 dx+x =\int csc^2x dx = -cot x \\ \int \frac{cos x}{sin^2x} dx (u=sin x, du=cos x dx)\\ =\int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u}=-csc x\\ \int \frac{cos^2x}{sin^2x} dx =\int cot^2x dx =\int csc^2x-1dx\\ =-cot x - x$

$=\int \frac{1}{sin^2x}dx-2\int \frac{cos x}{sin^2 x}dx+\int \frac{cos^2x}{sin^2x} dx \\ = -cot x +2 csc x -cot x - x\\ =2 csc x -2cot x -x +C =2 (csc x -cot x) -x +C\\ =2(\frac{1-cos x}{sin x})-x+C\\$

$=2(\frac{\frac{1-cosx}{2}}{\frac{sinx}{2}})-x+C\\ =2(\frac{sin^2\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}/2} )-x+C\\ =2tan(\frac{x}{2})-x+C$

Alt.
$\begin{aligned} &\int \frac{1 - cos(x)}{1 + cos(x)}dx \\ &( sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-cosx}{2} , cos^2(\frac{x}{2})=\frac{1+cosx}{2} )\\ &=\int \frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} dx =\int \frac{1-cos^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} dx \\ &=\int sec^2{\frac{x}{2}} dx-x \\ &=2tan(\frac{x}{2})-x+C \end{aligned}$

59. $\int (x^2)sqrt(x + 4)dx$

$\begin{aligned} &\int x^2\sqrt{x+4}dx \\ &(u=\sqrt{x+4}, du=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}dx)\\ &=\int(u^2-4)^2u 2u du=\int 2u^2(u^4-8u^2+16)du\\ &=\int 2u^6-16u^4+32u^2 du\\ &=\frac{2}{7}u^7-\frac{16}{5}u^5+\frac{32}{3}u^3+C\\ &=\frac{2}{7}(x+4)^\frac{7}{2}-\frac{16}{5}(x+4)^\frac{5}{2}+\frac{32}{3}(x+4)^\frac{3}{2}+C\\ \end{aligned}$

60. $\int_{-1}^1 sqrt(4 - x^2) dx$

$\begin{aligned} &\int_{-1}^1 \sqrt{4 - x^2} dx = 2\int_0^1 \sqrt{4 - x^2} dx \\ &( x=2sin\theta, dx=2cos\theta d\theta)\\ &=2\int_0^{\pi/6} 2cos \theta2cos\theta d\theta = 8\int cos^2 \theta d\theta\\ &=4\int 1+cos2\theta d\theta = 4\theta+2sin2\theta \\ &=4(\pi/6)+2(\sqrt{3}/2)\\ &=\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3} \end{aligned}$

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integral_br_41

41. $\int \sinh{x}dx$

$\begin{aligned} &\int \sinh {x} dx \\ &=\int \frac {e^x-e^{-x}}{2} dx =\frac{1}{2}(\int e^xdx-\int e^{-x}dx)\\ &=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh {x}+C \end{aligned}$

42. $\int \sinh^2{x}dx$

$\begin{aligned} &\int \sinh^2 {x} dx \\ &=\int (\frac {e^x-e^{-x}}{2})^2 dx =\frac{1}{4}(\int e^{2x}dx+\int e^{-2x}dx-\int 2 dx)\\ &=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{8}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}\sinh {2x}-\frac{1}{2}x+C \end{aligned}$

43. $\int \sinh^3{x}dx$

$\begin{aligned} &\int \sinh^3{x} dx \\ &=\int \sinh{x}\sinh^2{x} dx =\int \sinh{x}(\cosh^2{x}-1) dx\\ &=\int sinhx cosh^2x dx -\int sinh x dx (u=cosh x, du = sinh x dx)\\ &=\int u^2 du-cosh x=\frac{1}{3}cosh^3x-coshx+C \end{aligned}$

44. $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$

$\begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx (x=tan(y), dx=sec^2y dy)\\ &=\int \frac{1}{sec{y}} sec^2ydy=\int \sec{y} dy\\ &=ln|\sec{y}+\tan{y}|+C\\ &(R.T. x=tan y, a=1, o=x, h=\sqrt{1+x^2})\\ &=ln|\sqrt{1+x^2}+x|+C\\ \end{aligned}$
Alternative

let $\sinh^{-1}{x}=y$ , $sinh{y}=x$
$=ln|\sqrt{1+sinh^2y}+sinh{y}|\\ =ln|\sqrt{1+(\frac{e^y-e^{-y}}{2})^2}+\frac{e^y-e^{-y}}{2}|\\ =ln|\sqrt{\frac{e^{2y}+e^{-2y}-2+4}{4}}+\frac{e^y-e^{-y}}{2}|\\ =\ln| \frac{e^y+e^{-y}}{2} +\frac{e^y-e^{-y}}{2}| = \ln |e^y|=y\\ =\sinh^{-1}{x}$

45. $\int ln(x + sqrt(x^2 + 1) ) dx$

$\begin{aligned} &\int ln(x + \sqrt{x^2 + 1} )dx = \int sinh^{-1}x dx\\ &(x=sinh \theta, dx=cosh\theta d\theta) \\ &=\int ln (sinh \theta +\sqrt{sinh^2 \theta+1})cosh \theta d \theta\\ &=\int ln (sinh \theta + cosh \theta)cosh\theta d \theta \\ &=\int \theta cosh \theta d \theta \\ &=\theta sinh \theta - cosh\theta+C\\ &=x \sinh^{-1}{x}-\sqrt{sinh^2\theta+1}+C\\ &=x \sinh^{-1}{x}-\sqrt{x^2+1}+C \end{aligned}$

46. $\int \tanh{x} dx$

$\begin{aligned} &\int \tanh{x} dx \\ &=\int \frac{sinh x}{cosh x} dx, (u=cosh x, du = sinh x dx )\\ &=\int \frac{du}{u} = ln |u| +C=ln|cosh x|+C \end{aligned}$

47. $\int sech{x} dx$

(sech{x})’ = -sech(x)tanh(x)
$\begin{aligned} &\int sech{x} dx = \int \frac{1}{cosh{x}} dx = \int \frac{cosh{x}}{cosh^2{x}} dx \\ &=\int \frac{coshx}{sinh^2x+1}dx (u=sinhx, du=coshxdx)\\ &=\int \frac{1}{1+u^2} du\\ &=\arctan {u} = \tan^{-1}({\sinh^{-1}x})+C \end{aligned}$

48. $\int \tanh^{-1}{x} dx$

(y=tanh^-1 x, x=tanh y, dx=sech^2 y dy)
(tanh x)’ = sech^2(x)
$\begin{aligned} &\int \tanh^{-1}{x} dx \\ &=\int y sech^2y dy = y tanh(y)-\int tanh(y) dy\\ &=y tanh(y)-ln|cosh(y)|\\ &=xtanh^{-1}x-ln|cosh(tanh^{-1}x)|+C \\ \end{aligned}$

$y=tanh^{-1}x \\ cosh(tanh^{-1}x) =cosh (y)\\ ... ??$

$\begin{aligned} &\int \tanh^{-1}{x} dx \\ &(tanh^{-1}x \rightarrow D \rightarrow \frac{1}{1-x^2})\\ &=(\tanh^{-1}{x}) (x) - \int \frac{1}{1-x^2}xdx\\ &=x \tanh^{-1}{x} - \int \frac{x}{1-x^2}dx (u=1-x^2, du=-2xdx)\\ &=x \tanh^{-1}{x} +\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du\\ &=x \tanh^{-1}{x} +\frac{1}{2}ln|1-x^2|+C \end{aligned}$

49. $\int \sqrt{\tanh{x}} dx$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{\tanh{x}} dx \\ &=\int \sqrt{\frac{sinh x}{cosh x}} dx\\ &(u=\sqrt{coshx}, du =\frac{sinhx}{2\sqrt{cosh x}}dx )\\ &=\int \frac{\sqrt{sinh x}}{u}\frac{2\sqrt{coshx}}{sinhx}du\\ &=2\int \frac{1}{\sqrt{sinhx}}du=2\int \frac{1}{\sqrt{ \sqrt{cosh^2x-1}}}du\\ &=2\int \frac{1}{(u^4-1)^{1/4}}du \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{\tanh{x}} dx \\ &=\int \sqrt{\frac{sinh x}{cosh x}} dx\\ &(u=coshx, du =sinhx dx )\\ &=\int \frac{\sqrt{sinh x}}{\sqrt{u}}\frac{1}{sinhx}du\\ &=\int \frac{1}{\sqrt{u}\sqrt{sinhx}}du=\int \frac{1}{\sqrt{u\sqrt{u^2-1} }}du\\ &=\int\frac{1}{(u^4-u^2)^{1/4}}du \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\int \sqrt{\tanh{x}} dx \\ &(u=\sqrt{tanh(x)}, u^2=tanhx, x=arctanh(u^2) )\\ &(dx=\frac{1}{1-u^4}2udu)\\ &=\int u \frac{1}{1-u^4}2udu \\ &=2\int \frac{u^2}{1-u^4}du = 2\int \frac{u^2}{(1-u^2)(1+u^2)}du\\ &=2\int \frac{\frac{1}{2}}{1-u^2}+\frac{-\frac{1}{2}}{1+u^2} du\\ &=\int \frac{1}{1-u^2}-\frac{1}{1+u^2} du\\ &=arctanh(u)-arctan(u)\\ &=arctanh(\sqrt{tanh(x)})-arctan(\sqrt{tanh(x)})+C\\ \end{aligned}$

50. $\int_0^5 [x] dx$

$\begin{aligned} &\int_0^5 [x] dx \\ &x=[0,1) y=0, x=[1,2)y=1, x=[2,3)y=2...\\ &Area=0+1+2+3+4=10 \end{aligned}$

Author: crazyj7@gmail.com

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