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integral_br_91

91. x1+x4dx\int \frac{x}{1 + x^4} dx

x1+x4dxu=x2,du=2xdx=1211+u2du=12arctan(u)=12arctan(x2)+C \begin{aligned} &\int \frac{x}{1 + x^4} dx \\ &u=x^2, du=2xdx\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+u^2}du=\frac{1}{2}arctan(u)\\ &=\frac{1}{2}arctan(x^2)+C\\ \end{aligned}


92. exdx\int e^{\sqrt x} dx

exdxu=x,du=12xdxeu2udu=2ueudu=2(ueueu)=2ex(x1)+C \begin{aligned} &\int e^{\sqrt x} dx \\ & u=\sqrt x , du=\frac{1}{2\sqrt x} dx\\ &\int e^u 2udu=2\int ue^udu=2( ue^u-e^u )\\ &=2e^{\sqrt x}(\sqrt x -1 )+C \end{aligned}


93. 1csc(x)3dx\int \frac{1}{csc(x)^3} dx

1csc(x)3dx=sin3(x)dx=sin(x)(1cos2x)dx=sin(x)dxsin(x)cos2xdx(u=cos(x),du=sin(x)dx)=cos(x)+u2du=cos(x)+13u3+C=cos(x)+13cos3x+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{csc(x)^3} dx \\ &=\int sin^3(x) dx=\int sin(x)(1-cos^2x)dx\\ &=\int sin(x)dx-\int sin(x)cos^2xdx\\ &(u=cos(x), du=-sin(x)dx)\\ &=-cos(x)+\int u^2du=-cos(x)+\frac{1}{3}u^3+C\\ &=-cos(x)+\frac{1}{3}cos^3x+C \end{aligned}


94. arcsinx1x2dx\int \frac{arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}dx

arcsinx1x2(11x2int>arcsin(x))u=arcsin(x),du=11x2dx=udu=12u2=(sin1x)22+C \begin{aligned} &\int \frac{arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} \\ &( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -int-> arcsin(x) )\\ &u=arcsin(x), du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=\int u du = \frac{1}{2} u^2=\frac{(sin^{-1}x)^2}{2}+C \end{aligned}


95. 1+sin(2x)dx\int \sqrt{1 + sin(2x)} dx

1+sin(2x)dxu=sin(2x),du=2cos(2x)dx=1+u12cos(2x)du=121+u112sin2(x)du=12u112(u1)2du=12u12u2+4u1dunotwork \begin{aligned} &\int \sqrt{1 + sin(2x)} dx \\ &u=sin(2x) , du=2cos(2x)dx\\ &=\int \sqrt {1+u} \frac{1}{2cos(2x)}du =\frac 1 2 \int \sqrt {1+u} \frac {1}{1-2sin^2(x)}du \\ &=\frac 1 2 \int \sqrt u \frac{1}{1-2(u-1)^2}du =\frac 1 2 \int \sqrt u \frac{1}{-2u^2+4u-1}du \\ & not work \end{aligned}

1+sin(2x)dxu=1+sin(2x),du=2cos(2x)21+sin(2x)dxu21=sin(2x)=uucos(2x)du=u21(u21)2dut=u21,dt=2udu=12u1t2dt=121+t1t1+tdt=1211tdt=12(1t)1/2dt=12(2)(1t)1/2=1t=2u2=2(1+sin(2x))=1sin(2x)+C=cos2x+sin2x2sinxcos+C=cosxsinx+C \begin{aligned} &\int \sqrt{1 + sin(2x)} dx \\ &u=\sqrt{1 + sin(2x)}, du=\frac{2cos(2x)}{2\sqrt{1 + sin(2x)}}dx\\ &u^2-1=sin(2x)\\ &=\int u\frac{u}{cos(2x)} du = \int \frac{u^2}{\sqrt{1-(u^2-1)^2}}du\\ & t=u^2-1, dt=2udu\\ &=\frac{1}{2} \int \frac{u}{\sqrt{1-t^2}}dt=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}\sqrt{1+t}}dt \\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{2}\int (1-t)^{-1/2}dt=\frac 1 2 (2)(1-t)^{1/2}\\ &=\sqrt{1-t}=\sqrt{2-u^2}=\sqrt{2-(1+sin(2x))}\\ &=\sqrt{1-sin(2x)}+C\\ &=\sqrt{cos^2x+sin^2x-2sinxcos}+C=|cosx-sinx|+C \end{aligned}
Alt.
1=sin2x+cos2x1+sin(2x)dx=sin2x+cos2x+2sinxcosxdx=(sinx+cosx)dx=cosx+sinx+C 1=sin^2x+cos^2x\\ \int \sqrt{1 + sin(2x)} dx =\int \sqrt {sin^2x+cos^2x+2sinxcosx} dx\\ =\int (sinx+cosx)dx=-cosx+sinx+C


96. x1/4dx\int x^{1/4} dx

x1/4dx=45x54+C \begin{aligned} &\int x^{1/4} dx \\ &=\frac 4 5 x^{\frac 5 4}+C \end{aligned}


97. 11+exdx\int \frac{1}{1 + e^x}dx

11+exdxu=1+ex,du=exdx=1u1u1du=1u+1u1du=lnu+lnu1=lnu1u=lnex1+ex+C=xln(1+ex)+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{1 + e^x} dx \\ & u = 1+e^x, du=e^x dx \\ &=\int \frac {1}{u} \frac{1}{u-1}du=\int \frac{-1}{u}+\frac{1}{u-1}du \\ &=-ln|u|+ln|u-1|\\ &=ln|\frac{u-1}{u}|=ln|\frac{e^x}{1+e^x}|+C\\ &=x-ln(1+e^x)+C \end{aligned}


98. 1+exdx\int \sqrt{1 + e^x} dx

1+exdxu=1+ex,du=ex21+exdx=u2uexdu=2u21+1u21du=2(u11u2du)=2u2arctanh(u)+C=21+ex2tanh1(1+ex)+C=21+ex212ln1+1+ex11+ex+C=21+ex+ln11+ex1+1+ex+C \begin{aligned} &\int \sqrt{1 + e^x} dx \\ & u=\sqrt{1+e^x}, du=\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}dx\\ &=\int u \frac{2u}{e^x}du=2\int \frac {u^2-1+1}{u^2-1}du\\ &=2(u-\int \frac{1}{1-u^2} du)=2u-2arctanh(u)+C\\ &=2\sqrt{1+e^x}-2tanh^{-1}(\sqrt{1+e^x})+C\\ &=2\sqrt{1+e^x}-2\frac{1}{2}ln |{\frac{1+\sqrt{1+e^x}}{1-\sqrt{1+e^x}}}|+C\\ &=2\sqrt{1+e^x}+ln |{\frac{1-\sqrt{1+e^x}}{1+\sqrt{1+e^x}}}|+C\\ \end{aligned}
arctanhx=12ln1+x1xarctanh{x}=\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|


99. tan(x)sin(2x)dx\int \frac{\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}dx

tan(x)sin(2x)dx=tan(x)2sin(x)cos(x)dxu=tan(x),du=sec2x2tanxdx=u2sinxcosx2usec2xdu=2tan(x)cos(x)2sinxdu=du=u=tan(x)+C \begin{aligned} &\int \frac {\sqrt{tan(x)}}{sin(2x)}dx =\int \frac {\sqrt{tan(x)}}{2sin(x)cos(x)} dx\\ &u=\sqrt {tan(x)}, du=\frac{sec^2x}{2\sqrt{tanx}}dx \\ &=\int \frac {u}{2sinxcosx}\frac{2u}{sec^2x}du \\\\ &=\int \frac{2tan(x)cos(x)}{2sinx} du \\ &=\int du= u =\sqrt{tan(x)}+C \end{aligned}


100. 0π/211+sin(x)dx\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + sin(x)} dx

0π/211+sin(x)dxdiv cos=secxsecx+tanxdxu=secx+tanx,du=(secxtanx+sec2x)dx=secxu1secx(tanx+secx)du=1u2du=1u=1secx+tanx+C=cosx1+sinx+Ccosx1+sinx]0π/2=0(1)=1 \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + sin(x)} dx \\ & \text{div cos} \\ &=\int \frac{secx}{secx+tanx}dx\\ & u=secx+tanx, du=(secxtanx+sec^2x )dx\\ &=\int \frac{secx}{u} \frac{1}{secx(tanx+secx)}du\\ &=\int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u}\\ &=-\frac{1}{secx+tanx}+C=-\frac{cosx}{1+sinx}+C \\ & -\frac{cosx}{1+sinx} ]_0^{\pi/2} =0-(-1)\\ &=1 \end{aligned}
Alt.
0π/211+sin(x)dx=0π/21sin(x)1sin2(x)dx=1sin(x)cos2(x)dx=sec2xsec(x)tan(x)dx=tan(x)sec(x)+C=tan(x)sec(x)]0π/2notsolve.=sin(x)1cos(x)=cos2(x)cos(x)(1+sin(x))=cos(x)1+sin(x) \begin{aligned} &\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + sin(x)} dx \\ &=\int_0^{\pi/2} \frac{1-sin(x)}{1 - sin^2(x)} dx =\int \frac{1-sin(x)}{cos^2(x)} dx\\ &=\int sec^2x-sec(x)tan(x)dx=tan(x)-sec(x)+C\\ &=tan(x)-sec(x) ]_0^{\pi/2} not solve. \\ &=\frac{sin(x)-1}{cos(x)}=-\frac{cos^2(x)}{cos(x)(1+sin(x))}=-\frac{cos(x)}{1+sin(x)} \end{aligned}


101. sin(x)x+ln(x)cos(x)dx\int \frac {sin(x)} x + ln(x)cos(x) dx

sin(x)x+ln(x)cos(x)dx=sinxxdx+ln(x)cos(x)dx=sin(x)ln(x)cos(x)ln(x)dx+ln(x)cos(x)dx=sin(x)ln(x)+C \begin{aligned} &\int \frac{sin(x)}{x} + ln(x)cos(x) dx \\ &=\int \frac{sinx}{x}dx+\int ln(x)cos(x)dx\\ &=sin(x)ln(x)- \int cos(x)ln(x)dx+\int ln(x)cos(x)dx\\ &=sin(x)ln(x)+C \end{aligned}



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integral_br_81

81. sin(1x)x3dx\int \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^3}dx

sin(1x)x3dx(u=1x,du=x2dx)=sin(u)x3(x2)du=sin(u)x1du=usin(u)du=(u(cos(u))(sin(u)))=ucos(u)sin(u)=1xcos(1x)sin(1x)+C \begin{aligned} &\int \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^3}dx \\ &(u=\frac{1}{x}, du=-x^{-2}dx)\\ &=\int sin(u)x^{-3}(-x^2)du=-\int sin(u)x^{-1}du=-\int u \sin(u)du\\ &=-( u(-cos(u))-(-sin(u)) )=ucos(u)-sin(u)\\ &= \frac{1}{x} cos( \frac{1}{x})-sin(\frac{1}{x})+C \end{aligned}


82. x1x41dx\int \frac{x-1}{x^4-1}dx

x1x41dx=x1(x2+1)(x+1)(x1)dx=1(x2+1)(x+1)dx1(x2+1)(x+1)=ax+bx2+1+cx+1numerator:1=(c+a)x2+(b+a)x+c+ba=c,b=a,c+b=1,c=(1/2),b=(1/2),a=(1/2)=(1/2)x+(1/2)x2+1dx+(1/2)x+1dx=12xx2+1dx+121x2+1dx+121x+1dx(u=x2+1,du=2xdx)(xx2+1dx=121udu=12lnu)=14ln(x2+1)+12tan1x+12lnx+1+C \begin{aligned} &\int \frac{x-1}{x^4-1}dx \\ &=\int \frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}dx= \int \frac{1}{(x^2+1)(x+1)}dx\\ & \frac{1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{ax+b}{x^2+1}+ \frac{c}{x+1}\\ & numerator:1= (c+a)x^2+(b+a)x+c+b\\ & a=-c, b=-a, c+b=1, c=(1/2), b=(1/2), a=(-1/2)\\ &=\int \frac{(-1/2)x+(1/2)}{x^2+1}dx+\int \frac{(1/2)}{x+1} dx\\ &=-\frac{1}{2}\int \frac{x}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1} dx \\ & (u=x^2+1, du=2xdx)\\ & (\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}ln|u|)\\ &=-\frac{1}{4}ln(x^2+1)+\frac{1}{2}tan^{-1}x+\frac{1}{2}ln|x+1|+C \end{aligned}


83. 1+(x14x)2dx\int \sqrt{1+(x-\frac{1}{4x})^2}dx

1+(x14x)2dx(u=x14x,du=(1+14x2)dx,u=4x214x)=1+u24x24x2+1du=1+u2(111+4x2)dunotsolve...x2+116x2+12=(x+14x)2dx=x+14xdx=12x2+14lnx+C \begin{aligned} &\int \sqrt{1+(x-\frac{1}{4x})^2}dx \\ &(u=x-\frac{1}{4x}, du=(1+\frac{1}{4x^2})dx, u=\frac{4x^2-1}{4x})\\ &=\int \sqrt{1+u^2}\frac{4x^2}{4x^2+1}du=\int \sqrt{1+u^2}(1-\frac{1}{1+4x^2})du\\ & not solve...\\ & \int \sqrt{ x^2+\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{2} }=\int \sqrt{ (x+\frac{1}{4x})^2} dx=\int x+\frac{1}{4x} dx\\ &=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}ln|x|+C \end{aligned}


84. etan(x)1sin(x)2dx\int \frac{e^{tan(x)}}{1-sin(x)^2}dx

etan(x)1sin(x)2dx(u=tan(x),du=sec2(x)dx)eusec2xdx=eudu=eu=etan(x)+C \begin{aligned} &\int \frac{e^{tan(x)}}{1-sin(x)^2} dx \\ &(u=tan(x), du=sec^2(x)dx) \\ &\int e^u sec^2xdx=\int e^udu=e^u\\ &=e^{tan(x)}+C \end{aligned}


85. arctan(x)x2dx\int \frac{arctan(x)}{x^2}dx

arctan(x)x2dxD(arctan(x))=11+x2,x2dx=x1=arctan(x)(x1)11+x2(x1)dx=arctan(x)(x1)+1x(1+x2)dx=arctan(x)x+cx+ax+bx2+1dx(a+c)x2+bx+c=1,c=1,b=0,a=1=arctan(x)x+1xdxxx2+1dx=arctan(x)x+lnx12ln(x2+1)+C=arctan(x)x12ln(1+x2x2)+C \begin{aligned} &\int \frac{arctan(x)}{x^2}dx \\ & D(arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2} , \int x^{-2} dx=-x^{-1}\\ &=arctan(x)(-x^{-1})-\int \frac{1}{1+x^2}(-x^{-1})dx\\ &=arctan(x)(-x^{-1})+\int \frac{1}{x(1+x^2)}dx\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}+\int \frac{c}{x}+\frac{ax+b}{x^2+1}dx\\ &(a+c)x^2+bx+c=1, c=1, b=0, a=-1\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}+\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{x}{x^2+1}dx\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}+ln|x|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+C\\ &=-\frac{arctan(x)}{x}-\frac{1}{2}ln(\frac{1+x^2}{x^2})+C\\ \end{aligned}


86. arctan(x)1+x2dx\int \frac{arctan(x)}{1+x^2}dx

arctan(x)1+x2dx=arctan(x)arctan(x)11+x2arctan(x)dx=arctan2(x)2+C=(tan1x)22+C \begin{aligned} &\int \frac{arctan(x)}{1+x^2} dx \\ &= arctan(x)arctan(x)-\int \frac{1}{1+x^2} arctan(x)dx\\ &=\frac{arctan^2(x)}{2}+C=\frac{(tan^{-1}x)^2}{2}+C \end{aligned}


87. ln(x)2dx\int ln(x)^2dx

ln(x)2dx=ln(x)2(x)2ln(x)(1/x)xdx=xln(x)22ln(x)dx=xln(x)22(xlnxx)=x(ln(x)22lnx+2)+C \begin{aligned} &\int ln(x)^2dx \\ &=ln(x)^2(x)-\int 2ln(x)(1/x)xdx\\ &=xln(x)^2-2\int ln(x) dx = xln(x)^2-2(xln|x|-x)\\ &=x( ln(x)^2-2ln|x|+2) +C \end{aligned}


88. x2+4x2dx\int \frac{\sqrt{x^2+4}}{x^2}dx

x2+4x2dxu=x2+4,du=xx2+4dx=x2+4(1x)xx2+4(1x)dx=x2+4x+1x2+4dx=x2+4x+12arctan(x2)+C \begin{aligned} &\int \frac{\sqrt{x^2+4}}{x^2} dx \\ &u=\sqrt{x^2+4}, du=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx\\ &=\sqrt{x^2+4}(-\frac{1}{x})-\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} (-\frac{1}{x})dx\\ &=-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+\int \frac{1}{x^2+4}dx\\ &=-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+\frac{1}{2}arctan({\frac{x}{2}})+C\\ \end{aligned}

??? same???

Alt. x=2tanθx=2tan\theta
dx=2sec2θdθ,R.T.angle=θ,a=1,o=x2,h=1+x24=2secθ4tan2θ2sec2θdθ=sec3θcsc2θcos2θdθ=1cosθsin2θdθ=cos2θ+sin2θcosθsin2θdθ=cotθcscθdθ+secθdθ=cscθ+lnsecθ+tanθ=1+x242x+ln1+x24+x2=x2+4x+ln12(x+4+x2)+C=x2+4x+lnx+4+x2+C2 dx=2sec^2\theta d\theta , R.T. angle=\theta, a=1, o=\frac{x}{2}, h=\sqrt{1+\frac{x^2}{4}}\\ =\int \frac{2sec\theta}{4tan^2\theta} 2sec^2\theta d\theta=\int sec^3 \theta csc^2\theta cos^2\theta d\theta \\ =\int \frac{1}{cos \theta sin^2 \theta } d\theta=\int \frac{cos^2 \theta+sin^2 \theta }{cos \theta sin^2 \theta } d\theta \\ =\int cot\theta csc \theta d\theta+\int sec \theta d\theta \\ = -csc \theta + ln |sec \theta+tan\theta| \\ =- \sqrt{1+\frac{x^2}{4}}\frac{2}{x}+ln| \sqrt{1+\frac{x^2}{4}}+\frac{x}{2}| \\ =-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+ln|\frac{1}{2}(x+\sqrt{4+x^2})|+C\\ =-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+ln|x+\sqrt{4+x^2}|+C_2\\


89. x+4xdx\int \frac{\sqrt{x + 4}}{x} dx

x+4xdxu=x+4,du=12udx=uu242udu=2u24+4u24du=2(du+41u24du)=2u+81/4u2+1/4u+2du=2u+2lnu22lnu+2=2x+4+2lnx+42x+4+2+C \begin{aligned} &\int \frac{\sqrt{x + 4}}{x} dx \\ & u=\sqrt{x+4}, du=\frac{1}{2u}dx \\ &=\int \frac{u}{u^2-4} 2u du=2 \int \frac{u^2-4+4}{u^2-4} du\\ &=2( \int du +4\int \frac{1}{u^2-4} du)=2u+8\int\frac{1/4}{u-2}+\frac{-1/4}{u+2} du\\ &=2u+2ln|u-2|-2ln|u+2|\\ &=2\sqrt{x+4}+2ln|\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2}|+C \end{aligned}


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integral_br_71

71. 1/(cbrt(x)+1)dx\int 1/(cbrt(x)+1)dx

1x3+1dx(u=x3,du=13x23dx=13x23dx=13u2dx)=3u2u+1du=3u21+1u+1du=3(u1)(u+1)u+1du+31u+1du=3(12u2u)+3lnu+1=32u23u+3lnu+1+C=32x323x3+3lnx3+1+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}+1}dx \\ &(u=\sqrt[3]{x}, du=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}dx=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}dx=\frac{1}{3}u^{-2}dx)\\ &=3\int \frac{u^2}{u+1}du=3\int \frac{u^2-1+1}{u+1}du\\ &=3\int \frac{(u-1)(u+1)}{u+1}du+3\int\frac{1}{u+1}du \\ &=3(\frac{1}{2}u^2-u)+3ln|u+1|\\ &=\frac{3}{2}u^2-3u+3ln|u+1|+C\\ &=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x}^2-3\sqrt[3]{x}+3ln|\sqrt[3]{x}+1|+C\\ \end{aligned}
Alt.
(u=x3+1,x=(u1)3,dx=3(u1)2du)=1u3(u1)2du=3u22u+1udu=3u2+(1/u)du=3(12u22u+lnu)=32(x3+1)26(x3+1)+3lnx3+1+C (u=\sqrt[3]{x}+1, x=(u-1)^3, dx=3(u-1)^2du)\\ =\int \frac{1}{u} 3(u-1)^2du\\ =3\int \frac{u^2-2u+1}{u} du=3\int u-2+(1/u) du\\ =3(\frac{1}{2}u^2-2u+ln|u|)\\ =\frac{3}{2}(\sqrt[3]{x}+1)^2-6(\sqrt[3]{x}+1)+3ln|\sqrt[3]{x}+1|+C


72. 1cbrt(x+1)dx\int \frac{1}{cbrt(x + 1)}dx

1x+13dx(u=x+13,du=13(x+1)23dx=13(x+1)23dx=13u2dx)=3u2udu=3udu=32u2+C=32(x+1)23+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}dx \\ &(u=\sqrt[3]{x+1}, du=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}dx=\frac{1}{3}(x+1)^{-\frac{2}{3}}dx=\frac{1}{3}u^{-2}dx)\\ &=3\int \frac{u^2}{u}du=3\int u du \\ &=\frac{3}{2}u^2+C\\ &=\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}}+C \end{aligned}
Alt.
(u=x+1)
1x+13dx=u13du=32u2+C=32(x+1)23+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt[3]{x+1}}dx \\ &=\int u^{-\frac{1}{3}}du \\ &=\frac{3}{2}u^2+C\\ &=\frac{3}{2}(x+1)^{\frac{2}{3}}+C \end{aligned}


73. (sin(x)+cos(x))2dx\int (sin(x)+cos(x))^2 dx

(sin(x)+cos(x))2dx=1+2sin(x)cos(x)dx=x+sin(2x)dx=x12cos(2x)+C \begin{aligned} &\int (sin(x)+cos(x))^2dx \\ &=\int 1+2sin(x)cos(x)dx=x+\int sin(2x) dx\\ &=x-\frac{1}{2}cos(2x)+C \end{aligned}


74. 2xln(1+x)dx\int 2xln(1+x) dx

2xln(1+x)dx=2xln(1+x)dx(ln쪽을 미분하는 방향으로 부분적분)=2(ln(1+x)12x211+x12x2dx)=ln(1+x)x2x21+xdx=ln(1+x)x2x21+11+xdx=ln(1+x)x2x1+11+xdx=ln(1+x)x212x2+xln(1+x)+C \begin{aligned} &\int 2xln(1+x) dx =2\int xln(1+x) dx\\ & \text{(ln쪽을 미분하는 방향으로 부분적분)}\\ &=2( ln(1+x)\frac{1}{2}x^2-\int \frac{1}{1+x}\frac{1}{2}x^2dx )\\ &= ln(1+x)x^2-\int \frac{x^2}{1+x}dx = ln(1+x)x^2-\int \frac{x^2-1+1}{1+x}dx\\ &= ln(1+x)x^2-\int x-1+\frac{1}{1+x}dx\\ &= ln(1+x)x^2-\frac{1}{2}x^2+x-ln(1+x)+C\\ \end{aligned}


75. 1/(x(1+sin2ln(x)))dx\int 1/(x(1+sin^2ln(x)))dx

1x(1+sin2ln(x))dx(u=ln(x),du=1xdx:1/xln(x).)=du1+sin2u:(sin,(),cos.sec,tan.)=sec2usec2u+tan2udu=sec2u1+2tan2udu,(t=tanu,dt=sec2udu)=dt1+2t2,(t=tanu,dt=sec2udu)=12arctan2t=12arctan(2tan(ln(x)))+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{x(1+sin^2ln(x))} dx \\ &( u=ln(x), du=\frac{1}{x}dx : 1/x과 ln(x)에서 치환 착안.)\\ &=\int \frac{du}{1+sin^2u} : (sin에 대해 치환, 변환(반각)해보고, cos으로 나눠도 본다.\\ & sec, tan을 만들 수 있다는 것을 착안.)\\ &=\int \frac{sec^2u}{sec^2u+tan^2u}du\\ &=\int \frac{sec^2u}{1+2tan^2u}du, (t=tanu, dt=sec^2udu)\\ &=\int \frac{dt}{1+2t^2}, (t=tanu, dt=sec^2udu)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan {\sqrt{2}t}=\frac{1}{\sqrt{2}}arctan({\sqrt{2} tan(ln(x))})+C \end{aligned}


76. sqrt((1x)/(1+x))dx\int sqrt((1-x)/(1+x))dx

Try
1x1+xdx(전체치환? 일부치환. 분자분모곱, pm 등)(u=1x1+x,du=121+x1x1x+1+x12x+x2dx)(du=121+x1x2(1x)2dx=1u(1x)2dx)(u2=1x1+x,xu2+x=1u2,x=1u21+u2)=u2(1x)2du=u2(11u21+u2)2du=u2(2u21+u2)2du=4u6(11+u2)2du \begin{aligned} &\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \\ &(\text{전체치환? 일부치환. 분자분모곱, pm 등})\\ &( u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}, du=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\frac{1-x+1+x}{1-2x+x^2}dx)\\ &( du = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\frac{2}{(1-x)^2}dx=\frac{1}{u(1-x)^2}dx)\\ &(u^2=\frac{1-x}{1+x}, xu^2+x=1-u^2, x=\frac{1-u^2}{1+u^2} )\\ &=\int u^2(1-x)^2 du =\int u^2(1-\frac{1-u^2}{1+u^2})^2du\\ &=\int u^2(\frac{2u^2}{1+u^2})^2 du = \int 4u^6(\frac{1}{1+u^2})^2du\\ \end{aligned}
Try
1x1+xdx(u=1x1+x,du=1x(1x)1+2x+x2dx=2(1+x)2dx)(xu+u=1x,x(u+1)=1u,x=1u1+u)=12u(1+x2)du=12u(1+(12u+u21+2u+u2)2)du=12u(2+2u21+2u+u2)2du=2u(1+u2)2(1+u)4du \begin{aligned} &\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx \\ &(u=\frac{1-x}{1+x}, du=\frac{-1-x-(1-x)}{1+2x+x^2}dx=\frac{-2}{(1+x)^2}dx)\\ &( xu+u=1-x, x(u+1)=1-u, x=\frac{1-u}{1+u})\\ &=-\frac{1}{2}\int \sqrt{u} (1+x^2) du = -\frac{1}{2}\int \sqrt{u} (1+(\frac{1-2u+u^2}{1+2u+u^2})^2) du \\ &=-\frac{1}{2}\int \sqrt{u} (\frac{2+2u^2}{1+2u+u^2})^2 du \\ &=-2\int\sqrt{u}\frac{(1+u^2)^2}{(1+u)^4}du \end{aligned}
Solve
1x1+xdx=(1x)(1x)(1+x)(1x)dx=(1x)21x2dx=1x1x2dx=11x2dxx1x2dx(u=1x2,du=2xdx)=sin1x+121udu=sin1x+12u12du=sin1x+1x2+C \begin{aligned} &\int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx =\int \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} dx\\ &=\int \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} dx =\int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ & (u=1-x^2, du=-2xdx)\\ &=\sin^{-1}x+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\sin^{-1}x+\frac{1}{2}\int u^{-\frac{1}{2}}du\\ &=\sin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C \end{aligned}


77. xx/ln(x)dx\int x^{x/ln(x)}dx

Interesting…
xxln(x)dx((xln(x))=ln(x)1(ln(x))2)(y=xxln(x),ln(y)=xln(x)ln(x))(1yy=ln(x)1(ln(x))2ln(x)+xln(x)1x)(1yy=ln(x)1ln(x)+1ln(x)=1)y=y=xxln(x)+C \begin{aligned} &\int x^{\frac{x}{ln(x)}} dx\\ &( (\frac{x}{ln(x)})'=\frac{ln(x)-1}{(ln(x))^2})\\ &(y=x^{\frac{x}{ln(x)}}, ln(y)=\frac{x}{ln(x)}ln(x))\\ &( \frac{1}{y}y'= \frac{ln(x)-1}{(ln(x))^2}ln(x)+\frac{x}{ln(x)}\frac{1}{x})\\ &( \frac{1}{y}y'= \frac{ln(x)-1}{ln(x)}+\frac{1}{ln(x)}=1)\\ &y'=y\\ &=x^{\frac{x}{ln(x)}}+C \end{aligned}
Alt.
xxln(x)dx=(elnx)xln(x)dx=exdx=ex+C(xxln(x)=ex) \begin{aligned} &\int x^{\frac{x}{ln(x)}} dx = \int (e^{ln x})^{\frac{x}{ln(x)}}dx=\int e^x dx\\ &= e^x+C\\ &(x^{\frac{x}{ln(x)}}=e^x) \end{aligned}


78. arcsin(sqrt(x))dx\int arcsin(sqrt(x))dx

arcsin(x)dx( 루트부분을 치환. 부분적분)(u=x,u2=x,2udu=dx)=2usin1(u)du=(arcsin)=2(sin1u12u211u212u2du)=u2sin1uu21u2du=u2sin1u+1+1u21u2du=xsin1x11u2du+1u2du=xsin1xsin1x+1u2du \begin{aligned} &\int arcsin(\sqrt x) dx \\ &( \text{ 루트부분을 치환. 부분적분} )\\ &( u = \sqrt x, u^2=x, 2udu=dx)\\ &=2\int u sin^{-1}(u) du= (arcsin은 미분가능)\\ &=2( sin^{-1}u \frac{1}{2}u^2-\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{1}{2}u^2 du )\\ &=u^2sin^{-1}u-\int \frac{u^2}{\sqrt{1-u^2}}du\\ &=u^2sin^{-1}u+\int \frac{-1+1-u^2}{\sqrt{1-u^2}}du\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du+\int \sqrt{1-u^2}du\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\int \sqrt{1-u^2}du\\ \end{aligned}

1u2du,(u=sinθ,du=cosθdθ)=cos2θdθ=121+cos2θdθ=12θ+12cos2θdθ=12θ+14sin2θ=12sin1u+12sinθcosθ=12sin1u+12u1u2 \int \sqrt{1-u^2}du, (u=sin\theta, du=cos\theta d\theta)\\ =\int cos^2\theta d\theta=\frac{1}{2}\int1+cos2\theta d\theta=\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{2}\int cos 2\theta d\theta\\ =\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4} sin 2\theta =\frac{1}{2}sin^{-1}u+\frac{1}{2} sin \theta cos \theta\\ =\frac{1}{2}sin^{-1}u+\frac{1}{2} u \sqrt{1-u^2}

arcsin(x)dx=xsin1xsin1x+1u2du=xsin1xsin1x+12sin1u+12u1u2=xsin1xsin1x+12sin1x+12x1x=(sin1x)(x12)+12x(1x)+C \begin{aligned} &\int arcsin(\sqrt x) dx \\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\int \sqrt{1-u^2}du\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\frac{1}{2}sin^{-1}u+\frac{1}{2} u \sqrt{1-u^2}\\ &=x\sin^{-1}\sqrt{x}-\sin^{-1}\sqrt{x}+\frac{1}{2}sin^{-1}\sqrt{x}+\frac{1}{2} \sqrt{x} \sqrt{1-x}\\ &=(\sin^{-1}x)(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\sqrt{x(1-x)}+C \end{aligned}


79. arctan(x)dx\int arctan(x) dx

arctan(x)dx(y=arctan(x),x=tan(y),dx=sec2ydy)=ysec2ydy()=ytan(y)tan(y)dy=xarctanx+lncosy+C=xarctanx+ln11+x2+C \begin{aligned} &\int arctan(x) dx \\ &(y=arctan(x), x=tan(y), dx=sec^2ydy)\\ &=\int y sec^2y dy (부분적분)\\ &=y \tan(y)-\int tan(y) dy=x\arctan{x}+ln|cos y|+C\\ &=x\arctan{x}+ln|\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|+C\\ \end{aligned}
Alt.
arctan(x)dx(we know11+x2dx=arctan(x))=arctan(x)xx1+x2dx(x2)=xarctanx12ln1+x2+C \begin{aligned} &\int arctan(x) dx \\ &(\text{we know} \int \frac{1}{1+x^2} dx=arctan(x))\\ &=arctan(x) x -\int \frac{x}{1+x^2} dx (x^2을 치환)\\ &=x \arctan{x}-\frac{1}{2}ln|1+x^2|+C \end{aligned}


80. 05f(x)dx\int_0^5 f(x) dx

if x<=2, f(x)=10
if x>=2, f(x)=3x223x^2-2
=02f(x)dx+25f(x)dx=0210dx+253x22dx=20+[x32x]25=20+(1154)=131 \begin{aligned} &=\int_0^2 f(x)dx+ \int_2^5 f(x) dx \\ &=\int_0^2 10 dx+ \int_2^5 3x^2-2 dx \\ &=20+\bigg[x^3-2x \bigg ]_2^5=20+(115-4)\\ &=131 \end{aligned}


Author: crazyj7@gmail.com

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integral_br_31

31. 1xx3/2dx\int \frac{1}{\sqrt{x-x^{3/2}}}dx

1xx3/2dx=1x1x1/2dx=x1/21x1/2dx(u=1x1/2,du=12x1/2dx)=21u1/2du=2u1/2du=2(2)u1/2=4u=41x+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt{x-x^{3/2}}}dx\\ &=\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x^{1/2}}}dx\\ &=\int \frac{x^{-1/2}}{\sqrt{1-x^{1/2}}}dx\\ &(u=1-x^{1/2}, du=-\frac{1}{2}x^{-1/2} dx) \\ &=-2\int \frac{1}{u^{1/2}} du=-2\int u^{-1/2} du\\ &=-2 (2)u^{1/2}=-4\sqrt{u}\\ &=-4\sqrt{1-\sqrt{x}}+C \end{aligned}


32. 1xx2dx\int \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}dx

1xx2dx=1xx11dx=x1x11dx(u=x11,du=x2dx)=x1ux2du \begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}dx \\ &=\int \frac{1}{x\sqrt{x^{-1}-1}} dx =\int \frac{x^{-1}}{\sqrt{x^{-1}-1}} dx\\ &(u=x^{-1}-1, du=-x^{-2}dx)\\ &=-\int \frac{x^{-1}}{\sqrt{u}}x^2du \end{aligned}

1xx2dx=1x1xdx(u=x,du=12xdx)=1u1u22udu=211u2du \begin{aligned} &\int \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}dx \\ &=\int \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}} dx \\ &(u=\sqrt{x}, du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx)\\ &=\int \frac{1}{u\sqrt{1-u^2}} 2udu\\ &=2\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du \\ \end{aligned}
Right Triangle : h=1, o=u, a=sqrt(1-u^2) ,sinθ\theta = u
=21cosθcosθdθ=2θ=2arcsinu+C=2arcsinx+C =2\int \frac{1}{\cos \theta} \cos \theta d\theta =2\theta = 2 \arcsin{u}+C\\ =2\arcsin{\sqrt{x}}+C


33. e2lnxdx\int e^{2lnx} dx

e2lnxdx=elnxelnxdx=(elnx)2dx=x2dxor=elnx2dx=x2dx=13x3+C \begin{aligned} &\int e^{2lnx} dx\\ &=\int e^{lnx}e^{lnx} dx =\int (e^{lnx})^2 dx =\int x^2 dx\\ or&=\int e^{lnx^2} dx =\int x^2 dx\\ &=\frac{1}{3}x^3+C \end{aligned}


34. lnx/sqrtxdx\int lnx/sqrt x dx

lnxxdx(u=x,du=12xdx)=2lnu2du=4lnudu=4(ulnuu)=4(xlnxx)+C=2xln(x)4x+C \begin{aligned} &\int \frac{\ln x}{\sqrt x}dx \\ &(u=\sqrt x , du = \frac{1}{2\sqrt x}dx)\\ &=2\int ln u^2 du=4\int ln u du \\ &=4 (uln |u| -u ) \\ &=4 (\sqrt x ln |\sqrt x| - \sqrt x ) + C\\ &=2\sqrt x ln (x) - 4\sqrt x + C\\ \end{aligned}

lnxdx=(lnx)x1/xxdx=x(lnx)x \int ln x dx = (ln x) x - \int 1/x * x dx = x(lnx)-x


35. 1ex+exdx\int \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx

1ex+exdxwe know  coshx=ex+ex2=121coshxdx=exe2x+1dx(u=ex,du=exdx)=duu2+1=arctanu=arctanex+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{e^x+e^{-x}} dx \\ & \text{we know} \; cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cosh x} dx \\ &=\int \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx (u=e^x, du=e^xdx)\\ &=\int \frac{du}{u^2+1} =\arctan {u}\\ &=\arctan{e^x}+C \end{aligned}


36. log2xdx\int log_2 x dx

log2xdx=lnxln2dx=1ln2lnxdx=1ln2(xlnxx)+C=xlog2xxln2+C \begin{aligned} &\int log_2 x dx =\int \frac{ln x}{ln 2} dx\\ &=\frac{1}{ln 2}\int ln x dx\\ &=\frac{1}{ln 2}(x ln x - x)+C\\ &=x log_2x - \frac{x}{ln 2} + C\\ \end{aligned}


37. x3sin(2x)dx\int x^3*sin(2x) dx

x3sin2xdx=x3(12cos2x)3x2(14sin2x)+6x(18cos2x)6(116sin2x)=cos2x(12x3+34x)+sin2x(34x238)+C \begin{aligned} &\int x^3\sin{2x} dx \\ &=x^3(-\frac{1}{2}cos2x)-3x^2(-\frac{1}{4}sin2x)+6x(\frac{1}{8}cos2x)-6(\frac{1}{16}sin2x)\\ &=cos 2x (-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{4}x)+sin2x(\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{8})+C \end{aligned}


38. x2[1+x3]1/3dx\int x^2[1+x^3]^{1/3} dx

x21+x33dx(u=1+x3,du=3x2dx)=13u3du=13u13du=1334u1+13=14uu3=14(1+x3)1+x33+C \begin{aligned} &\int x^2 \sqrt[3]{1+x^3} dx \\ &(u=1+x^3, du=3x^2dx) \\ &=\frac{1}{3}\int \sqrt[3]u du = \frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{3}} du \\ &=\frac{1}{3} \frac{3}{4}u^{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}u\sqrt[3]{u}\\ &=\frac{1}{4}(1+x^3)\sqrt[3]{1+x^3}+C \end{aligned}


39. 1/(x2+4)2dx\int 1/(x^2 + 4)^2 dx

1(x2+4)2dx(x=2tany,dx=2sec2ydy,y=arctanx2)=2sec2y(4(tan2y+1))2dy=sec2y8sec4ydy=18cos2ydy=1161+cos2ydy=y16+132sin2y=116arctanx2+116sinycosy(righttriangleangle=y,h=sqrt(x2+4)a=2,o=x)=116arctanx2+116xx2+42x2+4=116arctanx2+x8(x2+4)+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{(x^2 + 4)^2} dx \\ &(x=2tany, dx=2sec^2ydy, y=\arctan{\frac{x}{2}}) \\ &=\int \frac{2sec^2y}{(4(tan^2y+1))^2}dy=\int \frac{sec^2y}{8sec^4y}dy\\ &=\frac{1}{8}\int cos^2y dy =\frac{1}{16}\int 1+\cos{2y}dy\\ &=\frac{y}{16}+\frac{1}{32}\sin{2y}=\frac{1}{16}arctan{\frac{x}{2}}+\frac{1}{16}sin y cos y\\ &(right triangle angle=y, h=sqrt(x^2+4) a=2, o=x)\\ &=\frac{1}{16}arctan{\frac{x}{2}}+\frac{1}{16}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \frac{2}{\sqrt{x^2+4}}\\ &=\frac{1}{16}arctan{\frac{x}{2}}+\frac{x}{8(x^2+4)}+C \end{aligned}


40. 12sqrt(x21)dx\int_1^2 sqrt(x^2-1) dx

12x21dx,(x=sec(y),dx=sec(y)tan(y)dy)tan2ysecytanydy=secytan2ydy(secytanyI>secy)=tanysecysec3ydy \begin{aligned} &\int_1^2 \sqrt{x^2-1} dx , (x=sec(y), dx=sec(y) tan(y) dy)\\ &\int \sqrt{\tan^2y} \sec y \tan y dy\\ &=\int \sec y \tan^2 y dy (sec y tan y -I-> sec y) \\ &=\tan y \sec y -\int \sec^3 y dy\\ \end{aligned}

sec3xdx=secxsec2xdx(sec2xI>tanx)=secxtanxsecxtanxtanxdx=secxtanxsecx(sec2x1)dx=secxtanxsec3xdx+secxdx=secxtanx+lnsecx+tanxsec3xdx=12(secxtanx+lnsecx+tanx) \int \sec^3 x dx = \int \sec x \sec^2 x dx (sec^2x-I->tan x)\\ =\sec x \tan x - \int \sec x \tan x \tan x dx\\ =\sec x \tan x - \int \sec x (\sec^2 x -1 ) dx \\ =\sec x \tan x - \int \sec^3 x dx +\int \sec x dx \\ =\sec x \tan x + ln |sec x + tan x|-\int \sec^3x dx\\ = \frac{1}{2}(\sec x \tan x + ln |sec x + tan x|)

x=sec(y), y=arcsec x, RT. angle=y, h=x, a=1, o=sqrt(x^2-1)
=tanysecysec3ydy=tanysecy12(secytany+lnsecy+tany)=12xx2112lnx21+x+C12x21dx=[12xx2112lnx21+x]12=312ln(3+2) =\tan y \sec y -\int \sec^3 y dy\\ =\tan y \sec y -\frac{1}{2}(\sec y \tan y + ln |sec y + tan y|)\\ =\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}ln| \sqrt{x^2-1}+x|+C\\ \int_1^2 \sqrt{x^2-1} dx=\left[\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}ln| \sqrt{x^2-1}+x|\right]_1^2\\ =\sqrt{3}-\frac{1}{2}ln(\sqrt{3}+2) \\


Author: crazyj7@gmail.com

31. [1:49:32](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=6572s) integral of (x-x^(3/2))^-1/2 32. [1:52:37](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=6757s) integral of (x-x^2)^-1/2 33. [1:56:03](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=6963s) integral of e^(2lnx) 34. [1:56:57](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=7017s) integral of lnx/sqrt x 35. [2:00:32](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=7232s) integral of 1/e^x+e^-x 36. [2:01:57](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=7317s) integral of log(x) base 2 37. [2:05:15](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=7515s) integral of x^3*sin2x 38. [2:08:32](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=7712s) integral of x^2[1+x^3]^1/3 39. [2:12:30](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=7950s) integral of 1/(x^2 + 4)^2 40. [2:19:38](https://www.youtube.com/watch?v=dgm4-3-Iv3s&t=8378s) integral of sqrt(x^2-1) from 1 to 2

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11. ∫sin⁡xsec⁡2019xdx\int \frac{\sin{x}}{\sec^{2019}x}dx

∫sin⁡xsec⁡2019xdx=∫sin⁡xcos⁡2019xdx(u=cos⁡x,du=−sin⁡xdx)=−∫u2019du=−12020u2020+C=−12020cos⁡2020x+C \begin{aligned} &\int \frac{\sin{x}}{\sec^{2019}x}dx\\ &=\int \sin{x}\cos^{2019}x dx\\ &(u=\cos x, du=-\sin x dx)\\ &=-\int u^{2019} du\\ &=-\frac{1}{2020}u^{2020}+C\\ &=-\frac{1}{2020}\cos^{2020}x+C\\ \end{aligned}


12. ∫xsin⁡−1x1−x2dx\int \frac{x\sin^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}} dx

∫xsin⁡−1x1−x2dx(x=sinθ,dx=cos⁡θdθ)(cosθ=1−sin⁡2θ=1−x2)=∫sin⁡θsin⁡−1sin⁡θ1−sin⁡2θcos⁡θdθ=∫θsin⁡θdθ=θ(−cos⁡θ)−(−sin⁡θ)+C=sin⁡θ−θcos⁡θ+C=x−sin⁡−1(x)1−x2+C \begin{aligned} &\int \frac{x\sin^{-1}{x}}{\sqrt{1-x^2}} dx\\ &(x = sin \theta, dx=\cos\theta d\theta)\\ &(cos \theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-x^2} )\\ &=\int \frac{\sin\theta \sin^{-1}{\sin\theta}}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta d\theta\\ &=\int \theta \sin\theta d\theta \\ &=\theta (-\cos\theta)-(-\sin\theta)+C\\ &=\sin\theta -\theta\cos\theta +C\\ &=x-\sin^{-1}(x)\sqrt{1-x^2} +C\\ \end{aligned}


13. ∫2sin⁡xsin⁡2xdx\int \frac{2\sin{x}}{\sin{2x}}dx

∫2sin⁡xsin⁡2xdx=∫2sin⁡x2sin⁡xcos⁡xdx=∫1cos⁡xdx \begin{aligned} &\int \frac{2\sin{x}}{\sin{2x}}dx\\ &=\int \frac{2\sin{x}}{2\sin{x}\cos{x}}dx\\ &=\int \frac{1}{\cos{x}}dx \end{aligned}
=∫sec⁡xdx=\int \sec{x}dx
=∫cos⁡xcos⁡2xdx=∫cos⁡x1−sin⁡2xdx(u=sin⁡x,du=cos⁡xdx)=∫11−u2du=∫1(1−u)(1+u)u=∫12(11−u+11+u)du=12(−ln⁡∣1−u∣+ln∣1+u∣)+C=12ln⁡∣1+u1−u∣+C=12ln⁡∣1+sin⁡x1−sin⁡x∣+C \begin{aligned} &=\int \frac{\cos{x}}{\cos^2{x}}dx=\int \frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}}dx \\ &(u=\sin{x} , du=\cos{x}dx) \\ &=\int \frac{1}{1-u^2} du = \int \frac{1}{(1-u)(1+u)} u\\ &= \int \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u} \right) du\\ &=\frac{1}{2} (-\ln|1-u|+ln|1+u|)+C\\ &=\frac{1}{2} \ln |\frac{1+u}{1-u}|+C\\ &=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}} \right|+C\\ \end{aligned}
Alternatives…
ln⁡(sin⁡x2+cosx2)−ln⁡(cosx2−sinx2)=ln⁡∣sin⁡x2+cosx2cosx2−sinx2∣=ln⁡∣(sin⁡x2+cosx2)2cos2x2−sin2x2∣=ln⁡∣1+2sinx2cosx2cos2x2−sin2x2∣=ln⁡∣1+sin⁡xcos⁡x∣ \ln(\sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})-\ln( cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2})\\ = \ln \left| \frac{\sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}-sin\frac{x}{2}} \right| \\ = \ln \left| \frac{(\sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})^2}{cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}} \right| \\ = \ln \left| \frac{1+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}} \right| \\ = \ln \left| \frac{1+\sin{x}}{\cos{x}} \right| \\
12ln⁡∣1+sin⁡x1−sin⁡x∣=ln⁡∣1+sin⁡x1−sin⁡x∣=ln⁡∣1+sin⁡x1+sin⁡x1−sin⁡x1+sin⁡x∣=ln⁡∣1+sin⁡x1−sin⁡2x∣=ln⁡∣1+sin⁡xcos⁡x∣=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣ \frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}} \right|\\ = \ln \left|\frac{\sqrt{1+\sin{x}}}{\sqrt{1-\sin{x}}} \right| \\ = \ln \left|\frac{\sqrt{1+\sin{x}}\sqrt{1+\sin{x}}}{\sqrt{1-\sin{x}}\sqrt{1+\sin{x}}} \right| \\ = \ln \left|\frac{1+\sin{x}}{\sqrt{1-\sin^2{x}}} \right| \\ = \ln \left|\frac{1+\sin{x}}{\cos{x}} \right| \\ = \ln \left| \sec{x}+\tan{x} \right| \\


14. ∫cos⁡22xdx\int \cos^2{2x} dx

∫cos⁡22xdx=∫1+cos⁡4x2dx=12x+12∫cos⁡4xdx=12x+1214sin⁡4x+C=12x+18sin⁡4x+C \begin{aligned} &\int \cos^2{2x} dx \\ &=\int \frac{1+\cos{4x}}{2} dx\\ &=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\int \cos{4x}dx\\ &=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{1}{4}\sin{4x}+C \\ &=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x}+C \\ \end{aligned}
Check…
ddx[12x+18sin⁡4x]=12+12cos⁡4x=1+cos⁡4x2=cos⁡22x \frac{d}{dx} [ \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}\sin{4x} ]\\ = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos{4x} = \frac{1+\cos{4x}}{2}\\ = \cos^2{2x}


15. ∫1x3+1dx\int \frac{1}{x^3+1}dx

x3+1=(x+1)(x2−x+1)=x3−x2+x+x2−x+1x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)= x^3-x^2+x+x^2-x+1
ax+bx2−x+1+cx+1,a+c=0,b+a−c=0,b+c=1\frac{ax+b}{x^2-x+1}+\frac{c}{x+1}, a+c=0, b+a-c=0, b+c=1
c=−a,b+2a=0,b=−2a,−2a+−a=1c=-a, b+2a=0, b=-2a, -2a+-a=1
a=−13,c=13,b=23a=-\frac{1}{3}, c=\frac{1}{3}, b=\frac{2}{3}

∫1x3+1dx=∫1(x+1)(x2−x+1)dx=∫−13x+23x2−x+1dx+∫13x+1dx=−13∫x−2x2−x+1dx+13ln⁡∣x+1∣+C \begin{aligned} &\int \frac{1}{x^3+1}dx\\ &=\int \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}dx\\ &=\int \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^2-x+1}dx+\int \frac{\frac{1}{3}}{x+1}dx\\ &=-\frac{1}{3}\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C\\ \end{aligned}
∫x−2x2−x+1dx=∫x−2(x−12)2+34dx(u=x−12)=∫u−32u2+34du=∫uu2+34du−32∫1u2+34du \int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx\\ =\int \frac{x-2}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx \\ (u=x-\frac{1}{2}) \\ =\int \frac{u-\frac{3}{2} }{u^2+\frac{3}{4}} du \\ =\int \frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}du-\frac{3}{2}\int\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du \\
Tip. 원래는 이렇게 하는 것이 더 낫다. 분모의 미분형태(2x-1)를 분자에서 파생.
∫x−2x2−x+1dx=12∫(2x−1)−3x2−x+1dx=12∫2x−1x2−x+1dx−32∫1(x−12)2+34dx \int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{(2x-1)-3}{x^2-x+1} dx\\ =\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx-\frac{3}{2}\int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} dx\\

A.∫uu2+34du(t=u2+34,dt=2udu)=12∫1tdt=12ln⁡∣t∣=12ln⁡∣x2−x+1∣B.∫1u2+34du=∫1u2+(32)2du=23arctan⁡(23u)=23arctan⁡(23(x−12))  ∴∫x−2x2−x+1dx=∫uu2+34du−32∫1u2+34du=12ln⁡∣x2−x+1∣−3223arctan⁡(23(x−12))=12ln⁡∣x2−x+1∣−3arctan⁡(2x−13) A. \int \frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}du\\ (t=u^2+\frac{3}{4}, dt=2udu)\\ =\frac{1}{2}\int \frac{1}{t} dt=\frac{1}{2}\ln|t|=\frac{1}{2}\ln|x^2-x+1|\\ B.\int \frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du\\ = \int \frac{1}{u^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}du\\ = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2}{\sqrt{3}}u)=\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})) \\ \; \\ \therefore \int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx = \int \frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}du-\frac{3}{2}\int\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du \\ = \frac{1}{2}\ln|x^2-x+1| -\frac{3}{2}\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})) \\ = \frac{1}{2}\ln|x^2-x+1| -\sqrt{3} \arctan (\frac{2x-1}{\sqrt{3}})\\

∴∫1x3+1dx=−13∫x−2x2−x+1dx+13ln⁡∣x+1∣+C=−16ln⁡∣x2−x+1∣+33arctan⁡(2x−13)+13ln⁡∣x+1∣+C \begin{aligned} \therefore &\int \frac{1}{x^3+1}dx\\ &=-\frac{1}{3}\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C\\ &= -\frac{1}{6}\ln|x^2-x+1| +\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan (\frac{2x-1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C\\ \end{aligned}


16. ∫xsin⁡2xdx\int x\sin^2{x} dx

∫xsin⁡2xdx=∫x1−cos⁡2x2dx=12∫xdx−12∫xcos⁡2xdx \begin{aligned} &\int x\sin^2{x} dx\\ &=\int x\frac{1-\cos{2x}}{2}dx\\ &=\frac{1}{2}\int xdx -\frac{1}{2}\int x\cos{2x}dx \end{aligned}

∫xcos⁡2xdx=x(12sin⁡2x)−12∫sin⁡2xdx=xsin⁡2x2−1212(−cos⁡2x)=xsin⁡2x2+cos⁡2x4 \int x\cos{2x}dx=x(\frac{1}{2}\sin{2x})-\frac{1}{2}\int \sin{2x}dx\\ =\frac{x\sin{2x}}{2} -\frac{1}{2} \frac{1}{2}(-\cos{2x})\\ =\frac{x\sin{2x}}{2}+\frac{\cos{2x}}{4} \\

=12∫xdx−12∫xcos⁡2xdx=14x2−xsin⁡2x4−cos⁡2x8+C=x2−xsin⁡2x4−cos⁡2x8+C=2x2−2xsin⁡2x−cos⁡2x8+C \begin{aligned} &=\frac{1}{2}\int xdx -\frac{1}{2}\int x\cos{2x}dx\\ &=\frac{1}{4}x^2 -\frac{x\sin{2x}}{4}-\frac{\cos{2x}}{8}+C\\ &=\frac{x^2-x\sin{2x}}{4} -\frac{\cos{2x}}{8}+C\\ &=\frac{2x^2-2x\sin{2x}-\cos{2x}}{8} +C\\ \end{aligned}


17. ∫(x+1x)2dx\int (x+\frac{1}{x})^2 dx

∫(x+1x)2dx=∫x2+2+1x2dx=13x3+2x−1x+C \begin{aligned} &\int (x+\frac{1}{x})^2 dx\\ &=\int x^2+2+\frac{1}{x^2}dx \\ &=\frac{1}{3}x^3+2x -\frac{1}{x}+C \end{aligned}


18 ∫3x2+4x+29dx\int \frac{3}{x^2+4x+29} dx

∫3x2+4x+29dx=3∫1(x+2)2+52dx=35arctan⁡x+25+C \begin{aligned} &\int \frac{3}{x^2+4x+29} dx\\ &=3\int \frac{1}{ (x+2)^2+5^2} dx\\ &=\frac{3}{5}\arctan{\frac{x+2}{5}} +C \\ \end{aligned}


19 ∫cot5(x)dx\int cot^5(x)dx

∫cot⁡5xdx=∫cos5xsin5xdx=∫cos4xcos⁡xsin4xsin⁡xdx=∫(cos2x)2cos⁡x(sin2x)2sin⁡xdx=∫(1−sin2x)2cos⁡x(sin2x)2sin⁡xdx=∫(1−2sin2x+sin4x)cos⁡x(sin2x)2sin⁡xdx=∫cosxsin5xdx−2∫cosxsin3xdx+∫cosxsinxdx(u=sinx,du=cosxdx)=∫u−5du−2∫u−3du+∫1udx=−14u4+1u2+ln∣u∣+C=−14sin4x+1sin2x+ln∣sinx∣+C=−14csc4x+csc⁡2x+ln∣sinx∣+C \begin{aligned} &\int \cot^5{x} dx\\ &=\int \frac{cos^5{x}}{ sin^5{x}} dx\\ &=\int \frac{cos^4{x}\cos{x}}{ sin^4{x}\sin{x}} dx\\ &=\int \frac{(cos^2{x})^2\cos{x}}{ (sin^2{x})^2\sin{x}} dx\\ &=\int \frac{(1-sin^2{x})^2\cos{x}}{(sin^2{x})^2\sin{x}} dx\\ &=\int \frac{(1-2sin^2{x}+sin^4{x})\cos{x}}{(sin^2{x})^2\sin{x}} dx\\ &=\int \frac{cos x}{sin^5x} dx -2\int \frac{cos x}{sin^3x}dx + \int \frac{cos x}{sin x}dx\\ &(u=sin x, du=cos x dx)\\ &=\int u^{-5}du-2\int u^{-3}du +\int \frac{1}{u} dx\\ &=-\frac{1}{4u^4}+\frac{1}{u^2}+ln|u|+C\\ &=-\frac{1}{4sin^4x}+\frac{1}{sin^2x}+ln|sin x|+C\\ &=-\frac{1}{4}csc^4x+\csc^2{x}+ln|sin x|+C\\ \end{aligned}


20. ∫−11tanxx4+x2+1dx\int_{-1}^{1} \frac{tan x}{x^4+x^2+1} dx

∫−11tanxx4+x2+1dx=0(oddfunction;x−>even.sin/cos−>odd) \begin{aligned} &\int_{-1}^{1} \frac{tan x}{x^4+x^2+1} dx\\ &=0 \\ &(odd function; x -> even. sin/cos -> odd) \end{aligned}


Author: crazyj7@gmail.com

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+ 적분팁 (Integration Tip)

-적분할 때 어떻게 접근하는게 빠를까?

아래 순서대로 접근해보면 도움이 많이 될 것이다. 1번이 안되면 2번으로 2번도 안되면 3번으로 등등 ...


1. 삼각 치환

아래 루트형태가 있을 때는 삼각함수로 치환한다.

로 치환한다. 

왜 그렇게 치환했는가?? 무조건 외우는건 금방 잊어 버린다. 왜 그런지 연상을 해야 잊어버려도 다시 유추하여 생각해 낼 수 있다.

생각해 보자... 보통 치환시키는 것은 치환한 것을 미분한 값이 나와야 치환한 의미가 있다.

치환한 x를 미분하면  .  쎄타 월드로 변경했을 때 미분한 값이 cos이 튀어 나온다.   그리고, x를 sin으로 치환하여 1-sin^2 형태가되어 루트를 씌우면 cos이 튀어 나오는  거랑 통하게 된 것이다.

이렇게 발상하면 지극히 당연히 sin으로 치환하는게 좋겠다는 생각이 든다.


로 치환한다.

루트 형태에서 1+tan^2은 sec^2이 되어 sec가 튀어나올 것이고, x를 미분하면 sec^2이 될 것이다. 비슷하다. 다른 항에 따라 잘될 수도 안될 수 도 있다.


로 치환한다.

루트형태에서 sec^2-1꼴이 나올 것이고, 여기서 루트를 씌우면 결국 tan가 튀어나올 것이고, x를 미분하면 sec * tan가 튀어나오게 된다. 이것도 주변 항에 따라 가능여부가 결정된다. 가장 좋은 것은 sec항이 있어준다면 럭키가 된다. 


2. 부분 적분

 이렇게 설명하기도 하고

 이렇게 설명하기도 한다. 똑같은 거다.

f'(x)를 dv라고 생각하고 f(x)를 v로 보면 된다. u는 g(x)이고, du는 g'(x)이다.

여기서 항상 고민인것은 어느 파트(dv)를 적분하고 어느 파트(u)를 미분할 것이지 선택하는 것이다. (어떤 것을 dv로 놓고 어떤 것을 u로 볼것인가?)

보통은 미분할 항(u)을 LIATE 순서로 선정한다..  그 의미는.

Logarithmic(ln), Inverse trigonometric (arctan, arcsin, ..) , Algebraic (5x^2, 3, ..) , Trigonometric(sin, cos..) , Exponential(10^x, e^x)

로그, 인버스, 대수, 삼각, 지수 

예를 들어 x e^x 를 적분한다고 하면, 대수와 지수함수가 나오므로 대수가 먼저 순서라그 대수인 x를 미분하고 e^x를 적분한다. 그렇게 하려면 x를 g(x) or u로 보고, e^x를 f'(x) or dv로 본다.


3. 유리 함수는 분모를 인수분해하여 부분분수형태로 접근한다.

분수꼴인 경우 분모를 인수분해하고 인수항들을 각각 분모로 하는 항들의 합인 형태로 변환한다. 분자는 a, b, c 등으로 놓고 통분했을때 원래의 형태가 맞게 나오게 방정식을 세워서 풀면된다.

예를 들면


4. 무리 함수는 루트부분을 치환한다. 통째로 할수도 있고 루트 x만 치환할 수도 있다. 

n제곱근과 m제곱근의 형태가 모두 나오면 n,m의 최소공배수 제곱근을 치환해 본다.

예를 들면 2제곱근 x + 3제곱근 x 이런 형태이면 6제곱근 x를 치환해 본다.


5. 지수함수를 치환한다. ( t = e^x )


6. 삼각함수들이 섞인 경우.

이것은 여러가지 접근해 시도해봐야 한다. 왕도는 없다.

sin, cos, tan, sec, csc, cot 들의 미분형태, 적분 형태를 어느 정도 알아야 한다. 외우기 힘들면 유도할 수 있어야 한다. 

sin, cos 배각 ( sin 2t = 2sin t cos t , cos 2t = cos^2 - sin^2 = 1-2 sin^2 = 2 cos^2 - 1)

cos^2 t = (1+cos2t) / 2

sin^2 t = (1-cos2t) / 2

1=sin^2+cos^2. 

분자 분모에 어떤 삼각함수를 곱할지..

무엇을 치환할 것인지. 치환할 부분을 미분하면 형태의 항이 나오게 되어 지워지는 부분이 있을지 등등...

짝수배 제곱의 형태이면 반각 공식등이 잘 먹히고   (sin^2 x = (1-cos 2t ) / 2 )

홀수배 제곱의 형태이면 하나를 분리하여 생각해 본다. ( sin^3 x  = sin x * sin^2 x )


7. inverse 삼각함수가 섞인 경우.

inverse함수를 원래 함수로 바꿔서 이것은 직각삼각형을 그려보면 다른 삼각함수들의 값을 쉽게 구할 수 있다.

arctan x = y 라면 tan y = x 가 되고, 직각 삼각형을 만들어 보고, 밑변을 1, 대변을 x, 끼인각을 y로 보면 된다. 빗변은 피타고라스로 구한다. 이제 cos y, sin y 를 쉽게 구할 수 있다.



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+ sec x의 적분



분자 분모에 sec(x)+tan(x)를 곱한다.  (sec의 친구는 tan,  csc의 친구는 cot이다.)









+ sec x의 적분2










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+ csc x의 적분



분자 분모에 csc(x)-cot(x)를 곱한다.










+ csc x의 적분2


-> 제곱의 형태로 만들어 다른 삼각함수로 변경한다. 


-> 부분분수로 쪼갠다.


--> 분모를 단항으로 만들기 위해 1+cos(x)를 분자,분모에 곱한다.






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전에는 곡선 좌표들이 (x,y)일때, y=f(x)와 같은 함수가 있을 경우에 구해봤다.


이번에는 x=f(t), y=g(t)라는 각각의 함수들이 존재할 경우이다.

x=f(t)에서 t를 구해 g(t)에 대입하여 y=h(x)꼴로 구할수 있다면 이전 방식으로도 가능하지만, h(x)를 구하기 어려운 경우에는 f와 g를 이용하여 구해야 한다.


전과 마찬가지로 곡선의 작은 조각을 적분하는 방식으로 길이를 구한다.


t 지점에서 t의 미세변화량(dt)에 대한 x의 변화량(dx)과 y의 변화량(dy)은 아래와 같다.

따라서 t 지점에서의 미세한 곡선의길이는 

이 delta l을 모두 합친다.

아래와 같이 길이를 구할 수 있는데,

여기서 t가 a~b구간이라고 하면,  t = a+ ((b-a)/n) * i 이고  dt=(b-a)/n 이다.

(Sigma에 대해 극한을 하게 되면 이를 적분으로 계산할 수 있다.  무한급수를 정적분으로 변환.)


위 dl에서 dt를 밖으로 빼주게 되면 아래와 같이 되고



이를 t가 a~b로 변화할때의 곡선의 길이













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곡선의 길이를 측정해 보자.


 그래프가 있다고 하자.

특정 구간 x가 a~b 범위에 있을 때 f(x) 그래프가 그어진 길이를 계산하자.


직접 길이를 구할 수 없으니, 쪼개서 합치자... 적분...


작은 곡선 조각의 길이를 구해서 합치면 전체 곡선의 길이는 아래와 같이 된다. 



먼저 x축을 아주 작게 쪼갠다...   이 한 조각의 가로 길이는 

로 0에 아주 가깝다.   

그리고 이렇게 쪼갠 조각의 곡선을 보면 직선과 같은 형태로 직각삼각형의 빗변의 길이가 된다. 

피타고라스 정리로 계산해 보면...

 이 된다.

y의 변화량은 f(x)의 변화량이다. 

dy = f(x+dx)-f(x)





작은 곡선 조각을 dx의 배수 형태로 만들었다.

이제 이 조각을 적분 기호로 합치면 전체 곡선의 길이가 된다.


따라서

x가 a~b 구간에서 y=f(x)가 움직인 곡선의 길이는





 







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